5.4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ ОЦЕНКИ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА НАИБОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИИ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА

Применительно к оценкам максимального правдоподобия можно предложить способ приближенного вычисления вероятности надежной оценки, основанный на анализе распределения максимумов функционала отношения правдоподобия.

Действительно, поскольку положение абсолютного максимума функционала отношения правдоподобия, то вероятность неравенства

равная вероятности надежной оценки эквивалентна вероятности выполнения неравенства

Здесь величина абсолютного максимума логарифма функционала отношения правдоподобия при величина абсолютного максимума на интервале . В силу определения величины как длительности сигнальной составляющей логарифма функционала отношения правдоподобия вероятность выполнения неравенства (5.4.2) есть вероятность того, что абсолютный максимум суммы сигнальной и помеховой составляющих в окрестности истинного значения 10 больше, чем любой из выбросов помеховой составляющей на остальной части априорного интервала. Так как длительность сигнальной составляющей А определяет величину интервала корреляции помеховой составляющей то для случая, когда является нормальным случайным процессом и Дможно считать, что величины статистически независимы. Обозначая теперь плотности вероятности величин , а функцию распределения величины для вероятности надежной оценки (т. е. для вероятности отсутствия аномальных ошибок) получаем выражение

Определяемая таким образом величина представляет собой надежность оценки только для метода максимального правдоподобия. При других методах получения оценки эта формула в отличие от (5.2.3) неприменима,

К сожалению, найти в общем случае точные аналитические выражения для не представляется возможным, так как задача определения функции распределения абсолютных максимумов случайного процесса до настоящего времени точного решения не имеет. Однако применительно к достаточно большим, но конечным величинам отношения сигнал/помеха и отношения априорного интервала возможных значений оцениваемого параметра к длительности сигнальной составляющей (или, что то же самое, ко времени корреляции помеховой составляющей) можно получить достаточно точную формулу для вероятности надежной оценки неэнергетнческого параметра. В связи с этим определим плотности вероятности максимума выходного сигнала в окрестности сигнальной составляющей и наибольшего максимума (максимума максиморума) выходного сигнала, образованного только помеховой составляющей.

Выходной сигнал оптимального приемника определяется выражением (3.1.5), где применительно к оценке неэнергетического параметра надо положить Разлагая (3.1.5) в ряд Тейлора и ограничиваясь тремя членами разложения, выражение для максимума выходного сигнала обусловленного наличием полезного сигнала (т. е. в области нормальных ошибок), можно записать в виде

где отклонение точки максимума от истинного значения оцениваемого параметра. При этом величина в первом приближении

определяется согласно (3.1.49) и из выражения

Отсюда максимум выходного сигнала в области сигнальной составляющей

где

При этом второй момент случайной величины а равен

Из последнего соотношения и видно, что при плотность вероятности случайной величины - сходится к плотности вероятности случайной величины Так как нормированная помеховая составляющая имеет нормальное распределение с нулевым средним значением и единичной дисперсией, то плотность вероятности случайной величины стремится к нормальному распределению вида

Подставляя полученное распределение величины в (5.4.3), после замены переменных получаем

и

Выражение для перепишем в виде

При этом функцию выберем такой, чтобы при и выполнялось условие Например, или В этом случае величина интеграла определяется поведением подынтегральных функций в области Действительно,

Распределение величины абсолютного максимума помеховой составляющей при стремится к распределению вида

где

Поскольку значение интеграла в (5.4.10) определяется поведением подынтегральных функций в области при то можно вместо подставить в (5.4.9) значение (5.4.11). Получим

Для любых значений справедливо разложение

Подставляя это разложение в и интегрируя, приходим к выражению

Полуденные формулы (5.3.13) и позволяют приближенно оценить величину вероятности надежной оценки для больших, но конечных значений они являются асимптотически точными при и Действительно, условие обеспечивает применимость предельного распределения (5.4.8), а условие приводит к тому, что влияние возможной статистической связи случайных величин и и влияние краевых эффектов становится пренебрежимо малым.

Рис. 5.4.1. Зависимость вероятности аномальной ошибки от отношения сигнал/помеха,

При весьма больших отношениях сигнал/помеха и не слишком больших значениях т. е. когда выполняется неравенство можно учесть только первые два члеиа ряда, т. е. положить

Это приближение совпадает с выражением для полученным в [166] на основе теории случайных выбросов.

На рис. 5.4.1 приведены вычисленные по формуле (5.4.14) зависимости вероятности аномальной ошибки от отношения сигнал/помеха при различных значениях Из рисунка видно, что

появление абсолютного максимума логарифма функционала отношения правдоподобия вдали от истинного значения параметра при не слишком больших довольно велика. С ростом вероятность аномальной ошибки сравнительно быстро убывает и относительно медленнее увеличивается с ростом с.