4.3. СМЕЩЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПАРАМЕТРА РАДИОСИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ

Если оцениваемый параметр узкополосного радиосигнала (4.2.1) со случайной равномерно распределенной начальной фазой является энергетическим, то необходимо учитывать зависимость отношения сигнал/помеха от оцениваемого параметра. Логарифм функционала отношения правдоподобия в этом случае получаем, положив в (2.5.10)

где выходной сигнал оптимального приемника узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой. определяется выражением

Рис. 4.3.1. Структурная схема оптимального устройства.

В соответствии с (4.3.1) структура оптимального устройства для получения оценки максимального пр авдоподобия энергетического параметра узкополосного радиосигнала с равномерно распределенной начальной фазой представлена на рис. 4.3.1. Здесь оптимальный приемник (рис. 2.5.1 при выходной сигнал которого поступает на нелинейный элемент с характеристикой а затем на сумматор. На второй вход сумматора подается вырабатываемый генератором детерминированный сигнал Выходные эффекты сумматора при различных значениях параметра I сравниваются между собой в решающем устройстве указывающем значение параметра при котором выходной эффект сумматора достигает абсолютного максимума. Положив приходим к структуре оптимального устройства для приема радиосигнала с иеэнергетическим параметром.

Обозначим, как и ранее при оценке произвольного параметра известного сигнала, - отношение сигнал/помеха для принятого сигнала и перейдем к нормированным функциям

Тогда формула для логарифма функционала отношения правдоподобия примет вид

Нормированная огибающая выходного сигнала оптимального приемника определяется формулой (4.2.8). Однако нормированные функции необходимо подставлять с учетом энергетического характера оцениваемого параметра.

Полагая, что отношение сигнал/помеха для принятого сигнала велико и аномальные ошибки оценивания отсутствуют, можем, используя асимптотическое представление функции заменить (4.3.3) в окрестности оценки максимального правдоподобия приближенным выражением

В этом выражении отброшены члены, не зависящие от и члены, имеющие порядок малости и выше, так что относительная погрешность приближенного выражения имеет величину порядка Тогда уравнение правдоподобия принимает вид

Найдем первые приближения для смещения и дисперсии оценки максимального правдоподобия. Рассматривая левую часть уравнения правдоподобия как функцию разложим ее в ряд Маклорена. Учитывая лишь первые два члена разложения, находим

где

Покажем, что функция а следовательно, и функция достигают максимума при Для этого рассмотрим помеховую функцию двух параметров

Так как фаза всегда неэнергетический параметр, то

Используем очевидное неравенство

откуда, выполняя усреднение имеем

В силу (2.5.30) и (2.5.34)

Так как то, возвращаясь к нормированной функции, можем записать

Поэтому для получения первого приближения оценки воспользуемся первым выражением

Согласно ( получаем, что в первом приближении оценка параметра несмещенная, а дисперсия оценки максимального прав-. доподобия параметра узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой в первом приближении равна

Если оцениваемый параметр является неэнергетическим, то и выражение для дисперсии оценки совпадает с (4.2.20).

В прикладных задачах вычисления характеристик оценки часто удобнее пользоваться комплексным представлением полезного опорного сигналов. При этом сигнальная функция (2.5.30) и интегральное уравнение принимают вид

Рассмотрим связь полученной оценки с эффективной оценкой, дисперсия которой определяется выражением (1.3.21). При больших отношениях сигнал/помеха справедливо приближенное представление логарифма функционала отношения правдоподобия (4.3.1) в виде

Учитывая находим, что дисперсия эффективной оценки совпадает с (4.3.15). Следовательно, оценка максимального правдоподобия энергетического параметра узкойолосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой является

асимптотически несмещенной и эффективной. Очевидно, это утверждение относится и к оценке неэиергетического параметра

Используя метод малого параметра, можно было бы получить выражения для вторых приближений смещения и дисперсии оценки максимального правдоподобия энергетического параметра узкополосиого радиосигнала со случайной начальной фазой, когда оцениваемый энергетический параметр входит как в огибающую, так и в фазу сигнала. Однако вычислительные трудности, возникающие при этом, оказываются весьма значительными и не удается получить приемлемые для инженерных вычислений формулы. Так как энергетические параметры в большинстве случаев входят лишь в огибающую радиосигнала, то вторые приближения для характеристик оценки максимального правдоподобия энергетического параметра радиосигнала найдем для случая, когда оцениваемый параметр входит лишь в огибающую радиосигнала, полезный сигнал имеет вид

где начальная фаза по-прежнему предполагается распределенной равновероятно на интервале Тогда характеристики оценки энергетического параметра радиосигнала со случайной начальной фазой в первом приближении совладают с соответствующими характеристиками оценки параметра радиосигнала с известной начальной фазой. Действительно, в этом случае и

где сигнальная функция при приеме сигнала с априори известной начальной фазой. Из сравнения формул (4.3.15) и (3.1.46) имеем

т.е. незнание начальной фазы узкополосного радиосигнала не сказывается на характеристиках оценки в первом приближении.

При приеме сигнала (4.3.19) выражение для нормированной огибающей выходного сигнала оптимального приемника приобретает вид

где

Для сигнала (4.3.19) опорный сигнал оптимального приемника (2.3.35) равен

так что теперь в соответствии с (2.5.16)

а для нормированных функций справедливы вытекающие из результатов § 2.5 соотношения

Подставим значение в уравнение (4.3.5) и, рассматривая левую часть этого уравнения как функцию разложим ее в ряд Маклорена. Отбрасывая члены разложения порядка малости и выше, получаем уравнение правдоподобия

Здесь

Поскольку, как показано выше, функция достигает максимума при приближенное решение уравнения правдоподобия будем искать методом малого параметра. Разлагая функцию в квадратных скобках в левой части в ряд Тейлора по в окрестности точки подставляя в это разложение значение из (3.1.8) и приравнивая нулю коэффициенты при в одинаковых степенях, приходим к выражениям

Используя соотношения (4.3.29), нетрудно показать, что первые два момента помеховых составляющих соответственно

равны

Подставляя значения в (3.1.14), (3.1.15) и выполняя усреднение, получаем формулы для определения условных смещения и дисперсии оценки произвольного параметра, закодированного в огибающей узкополосиого радиосигнала со случайной начальной фазой:

Сравним характеристики оценки произвольного параметра, закодированного в огибающей узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой, с характеристиками оценки при приеме этого же сигнала с априори известной начальной фазой. Из и видим, что в рассматриваемом приближении условные смещения оценок совпадают. Учитывая выражение для дисперсии оценки энергетического параметра сигнала со случайной начальной фазой можно записать в виде

Как и рледовало ожидать, дисперсии оценок параметра, закодированного в огибающей, отличаются только во втором приближении, а в первом приближении совпадают.

Перепишем формулу (4.3.37) в виде

где дисперсия эффективной оценки параметра I, определяемая: из (3.1.46), а

Как показано ниже, всегда выполняется условие

поэтому

Следовательно, незнание начальной фазы приводит в общем случае к ухудшению качества оценки.

Для доказательства неравенства рассмотрим вспомогательную функцию

Воспользовавшись очевидным [неравенством

получим известное соотношение для функции корреляции нестационарного случайного процесса

Из этого выражения следует, что Поскольку имеет максимум в точке то всегда Учитывая соотношения и (3.1.40), нетрудно показать, что Отсюда доказывается справедливость неравенства (4.3.38), а следовательно, и справедливость выражения (4.3.39).