2.6. ФУНКЦИОНАЛ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ (НОРМАЛЬНО ФЛУКТУИРУЮЩЕГО СИГНАЛА

В соответствии с раиее данным определением под флуктуирующим сигналом будем понимать сигнал, который в течение времени приема изменяется случайным образом, или сигнал, который содержит неизвестные сопровождающие параметры, изменяющиеся в течение времени приема случайным образом. При приеме флуктуирующего сигнала смесь статистически независимых сигнала и помехи представим в виде

где - флуктуирующий сигнал, статистические характеристики которого зависят от оцениваемого параметра (или нескольких параметров); - нормальная помеха с нулевым средним значением и функцией корреляции Согласно (1.1.11) функционал отношения правдоподобия для флуктуирующего сигнала находится из выражения

Усреднение в (2.6.2) выполняется по всевозможным реализациям сигнала Вычислить среднее значение в (2.6.2) удается достаточно просто лишь в случае, когда сигнал (при фиксированном значении параметра является реализацией нормального случайного процесса, т. е. представляет собой нормально флуктуирующий сигнал. Однако для нормально флуктуирующего сигнала сумма сигнала и помехи есть реализация нормального случайного процесса, что позволяет избежать выполнения усреднения в (2.6.2) и непосредственно записать функционал отношения правдоподобия

Итак, пусть - нормальный случайный процесс со средним значением и функцией корреляции

Тогда результирующий процесс будет также нормальным со средним значением I) и функцией корреляции

Запишем в явном виде многомерные плотности вероятности выборки наблюдаемых данных при наличии и отсутствии сигнала:

Здесь — определитель матрицы с элементами элементы матрицы, обратной корреляционной матрице - определитель корреляционной матрицы

с элементами элементы матрицы, обратной корреляционной матрице

Разделив (2.6.5) на (2.6.6), получим отношение правдоподобия

где

Для получения функционала отношения правдоподобия надо перейти к пределу при В результате такого перехода функционал отношения правдоподобия нормально флуктуирующего сигнала при непрерывной обработке наблюдаемых данных можно записать как

Здесь функции определяются из уравнений

а выражение для производной функции имеет вид

Очевидно, в качестве выходного сигнала оптимального приемника ножно использовать часть логарифма функционала отношения правдоподобия, зависящую от принятой реализации наблюдаемых данных:

Это выражение можно упростить, если сигнал I) и помеха являются стационарными случайными процессами с нулевыми средними значениями и время корреляции сигнала и помехи значительно меньше интервала наблюдения

Итак, положим и время корреляции сигнала и помехи настолько мало, что в интегральных уравнениях (2.6.8) и (2.6.9) пределы интегрирования можно заменить на бесконечные. При этих предположениях

а формулы (2.6.7) и (2.6.10) примут вид

где

Введем в интегралах и (2.6.15) новые переменные интегрирования и измелим порядок интегрирования, для чего показанную на рис. 2.6.1 область интегрирования разобьем на две подобласти (А и В).

Рис. 2.6.1. Область интегрирования.

Тогда

Вводя во втором интеграле новые переменные и учитывая малость времени корреляции по сравнению с приходим к выражению

где

С помощью аналогичных рассуждений для (2.6.15) получаем

Подставляя (2.6.16) и (2.6.18) в (2.6.13), находим

Воспользовавшись спектральным представлением функции (2.6.14)

выражение запишем в виде

Здесь преобразования Фурье соответстствующих функций времени. Полагая в (2.6.8) и (2.6.9) пределы интегрирования бесконечными и вычисляя преобразования Фурье от лравых и левых частей этих уравнений, приходим к выражениям

С учетом последних выражений функции запишутся как

Выходной сигнал оптимального приемника в этом случае имеет вид

В соответствии с последними формулами оптимальный приемник нормально флуктуирующего сигнала образует кратковременную функцию корреляции (2.6.17), которая затем интегрируется в теченне времени с весовой функцией при всевозможных априорных значениях параметра Структурная схема оптимального приемника приведена на рис. 2.6.2. На схеме обозначено: 1 — коррелометр, вычисляющий функцию генератор весовой функции (опорного сигнала) образуемой на основе анализа спектров полезного сигнала и помехи в соответствии с (2.6.23).

Рис. 2.6.2. Структурная схема оптимального приемника флуктуирующего сигнала.

Если нормально флуктуирующий сигнал содержит несколько неизвестных параметров то функционал отношения правдоподобия опять определяется формулой (2.6.7), где теперь скалярный параметр I надо заменить на векторньш 1, а функция определяется своими производными:

Функция является решением интегрального уравнения, аналогичного (2.6.8).