4.4. СМЕЩЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ ОЦЕНКИ НЕЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПАРАМЕТРА РАДИОСИГНАЛА С НЕРАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕНННОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ

Рассмотрим влияние априорной информации о начальной фазе на качество оценки параметра радиосигнала в первом приближении применительно к оценке неэнергетического параметра.

При приеме узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой дисперсия оценки максимального правдоподобия неэнергетического параметра в первом приближении определяется выражением (4.2.20), которое перепишем в виде

Согласно (3.1.46) и (2.5.35) дисперсия оценки максимального правдоподобия неэнергетического параметра сигнала (4.2.1) при условии, что начальная фаза априорн точно известна, может быть представлена как

Следовательно, на основании этих формул можем записать

где

Так как для неэнергетического параметра всегда выполняется неравенство то и

Если начальная фаза сигнала неизвестна, то оценку параметра I можно получить путем совместной оценки двух неизвестных параметров и дальнейшего использования лишь оценки параметра I Сигнальная функция двух параметров определяется выражением (2.5.34), которое для нормированных функций принимает вид

Согласно § 3.3 совместные оценкн максимального правдоподобия параметров несмещенные. Подставляя (4.4.6) в (3.3.13) и (3.3.14), дисперсии этих оценок можно представить в виде (4.4.3) и

где - дисперсия раздельной оценкн начальной фазы узкополосного радиосигнала, первое приближение которой определяется (3.5.3).

Таким образом, дисперсия оценкн максимального правдоподобия параметра I узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой совпадает с дисперсией при совместной оценке параметров

Коэффициент корреляции совместных оценок максимального правдоподобия параметров согласно (3.3.16) и (4.4.6) равен

Используя это соотношение, выражение для можем переписать как

Отсюда следует, что если совместные оценкн параметров не коррелированы, то и дисперсии оценок незнергетического параметра при приеме радиосигнала с известной и неизвестной начальными фазами равны.

Таким образом, отсутствие априорной информации о начальной фазе даже в первом приближении приводит к ухудшению качества оценки параметра I, если совместные оценки коррелнрованы. Увеличение дисперсии оценкн неэиергетнческого параметра, вызванное априорным незнанием начальной фазы радиосигнала, зависит от коэффициента корреляции совместных оценок параметра фазы

Рассмотрим оценку неэнергетического параметра узкополосного радиосигнала, полагая, что начальная фаза сигнала нмеет неравномерную априорную плотность вероятности (2.5.9). Поскольку при оценке незнергетического параметра выражение для функционала отношения правдоподобия (2.5.10) принимает вид

В силу монотонности функции положение абсолютного максимума совпадает с положением абсолютного максимума выходного сигнала оптимального приемника Поэтому оптимальное устройство для получения оценки максимального правдоподобия можем получить, включив на выходе оптимального приемника (рис. 2.5.1) решающее устройство, которое должно определять значение параметра где положение абсолютного максимума

Вычислим, смещение и дисперсию оценки параметра Для этого подробнее рассмотрим функцию которую можно представить как модуль суммы двух векторов Составляющие этих двух векторов представим через мнимую и действительную части комплексных функций:

где

Учитывая далее, что для произвольного комплексного числа справедливо равенство

функцию запншем в виде

Введем также в рассмотрение комплексное представление полезного сигнала

н обозначим

Подставляя принимаемую сумму сигнала и помехи в выражение для получаем

Учитывая, что

и полагая отношение сигнал/помеха можем записать приближенное соотношение

где сигнальная и помеховая составляющие определяются как

причем

Погрешность приближенного представления (4.4.15) уменьшается с ростом отношения сигнал/помеха Кроме того, при больших отношениях сигнал/помеха и любых А

Здесь усреднение выполняется как по реализациям помехи так и по значениям случайной фазы Если обозначить то при

что подтверждает справедливость предыдущего неравенства.

Так как функционал отношения правдоподобия монотонно зависит от выходного сигнала оптимального приемника то уравнение правдоподобия можно записать в виде

Для нахождения смещения и днсперсин оценки рассмотрим первые приближения. Для этого, полагая отношение сигнал/ помеха достаточно большим, разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки и ограничимся тремя первыми членами разложения. В этом случае выражение для случайной ошибки оценкн можно записать

Усредняя случайную ошибку оценивания по реализациям помехи при фиксированных и находим условное смещение оценки

т. е. условная (по отношению к ) оценка в общем случае смещенная.

Выразим функцию через нормированные квадратурные составляющие выходного полезного сигнала Согласно (2.5.15) и имеем

Тогда функция будет определяться выражением

Подставим в (4.4.18) значения производных функций учитывая, что для незнергетического параметра -четная, нечетная фуикцня разности своих аргументов. Получим

где

Осуществляя в последнем выражении предельный переход при (в пределе, если получим, что при достаточно большом отношении сигнал/помеха оценка несмещенная.

Найдем смещение оценки, безусловное по отношению к начальной фазе (но по-прежнему условное по отношению к истинному значению оцениваемого параметра

Подставив в это соотношение значение априорной плотности вероятности начальной фазы (2.5.9), получим

В силу нечетности подынтегральной функции имеем

т. е. оценка неэнергетического параметра при неравномерном распределении случайной начальной фазы вида (2.5.9) безусловно несмещенная.

Поскольку отношение сигнал/помеха предполагается, достаточно большим и рассматривается лишь первое приближение, то при вычислении дисперсии оценки можно использовать формулу для дисперсии эффективной оценки (1.3.21). Учитывая асимптотическое поведение функции при выражение для дисперсии оценки можем записать в виде

Здесь индекс означает, что усреднение выполняемся по значениям случайной начальной фазы, т. е.

Найти точное значение этого интеграла затруднительно, поэтому используем приближенное представление функции полагая

Подставляя в (4.4.20) приближенное выражение для выполняя интегрирование и подставляя получившееся выражение в (4.4.19), имеем

При априорная плотность вероятности начальной фазы (2.5.9) переходит в равномерную и из (4.4.22) имеем

Еслн о, то плотность вероятности (2.5.9) вырождается в дельта-функцию, что соответствует приему сигнала с точно известной начальной фазой, и из (4.4.22) получаем

т. е. дисперсия оценки в этом случае совпадает с дисперсией оценки параметра I при приеме узкополосного радиосигнала с априори известной начальной фазой.

Сравним дисперсию со значениями дисперсий т. е. определим влияние априорного распределения начальной фазы и его параметров на дисперсию оценки. Выполнив дифференцирование в формуле (4.4.22), с учетом (4.4.2) и (4.4.3) выражение для дисперсии оценки можно переписать как

Преобразуя выражение в фигурных скобках, имеем

где

При этом всегда выполняется соотношение Нетрудно убедиться, что

Таким образом, в общем случае можно записать

т. е. отсутствие априорной информации о начальной фазе узкополосного радиосигнала ведет к определенным потерям при оценке неэнергетического параметра. Эти потери могут быть уменьшены, еслн начальная фаза подчиняется известному неравномерному распределению вероятностей. В частности, согласно (4.4.25) коэффициент 63 показывает уменьшение дисперсии оценки параметра при учете неравномерного априорного распределения начальной фазы по сравнению с равномерным априорным распределением начальной фазы.

Аналогично (4.4.28) для коэффициентов справедливо соотношение

причем если то При

Так как дисперсия оценки параметра I для равномерно распределенной начальной фазы совпадает с дисперсией оценки параметра I при совместной оценке то эту оценку можно интерпретировать как оценку, полученную при использовании в качестве априорного распределения начальной фазы распределения ее оценки максимального правдоподобия.

При больших отношениях сигнал/помеха распределение оценки начальной фазы (см. § 3.5, п. 1) аппроксимируется нормальным законом с дисперсией Априорное распределение фазы при больших значениях 1 также аппроксимируется нормальным законом с дисперсией Тогда, если распределение оценки начальной фазы будет иметь пик, гораздо более узкий, чем распределение Поэтому при учет неравномерного априорного распределения практически не влияет на качество оценки (так как

Если же то пик априорного распределения (2.5.9) будет гораздо уже, чем у распределения оценки начальной фазы, и учет априорного распределения приводит к тому, что дисперсия оценки радиосигнала со случайной начальной фазой практически совпадает с дисперсией оценки параметра известного сигнала (т. е. При этом априорное распределение начальной фазы оказывает влияние на дисперсию оценки параметра только если оценки параметра и начальной фазы статистически зависимы, т. е.

Действительно, если то согласно и приближенное значение принимает вид

Рис. 4.4.1. Зависимость относительной дисперсии оценки параметра сигнала с неравномерно распределенной начальной фазой от А

При этом, если 1 (практически при ), то и Если то, учитывая, что полученные первые приближения оценки справедливы для также получаем

На рис. 4.4.1 приведены зависимости коэффициента от параметра А распределения (2.5.9) для двух значений коэффициента корреляции оценок неэнергетического параметра и начальной фазы

Сплошные кривые построены для а штриховые — для Ход кривых на рис. 4.4.1 подтверждает сделанные выше качественные выводы.

В заключение отметим, что, определяя величины в конкретных задачах, можно решить, имеет ли смысл учитывать величину начальной фазы при оценке неэнергетического параметра, т. е. можио ли получить, например, заметный выигрыш, если использовать сигналы с известной начальной фазой или учитывать неравномерность априорного распределения фазы и соответственно усложнять структуру оптимального устройства.