Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 1.3. ЭФФЕКТИВНЫЕ ОЦЕНКИОдним из основных требований при построении оценок является получение оценок с минимальной дисперсией или минимальным рассеянием (если они существуют). В связи с этим в математической статистике введено понятие эффективных оценок [14], Применительно к смещенным оценкам параметра сигнала оценка
Для несмещенной оценки С. Рао [23] и Приведем вывод этого выражения, полагая, что необходимые допущения справедливы. Оценку параметра у представим в сокращенной записи Усредним выражение
по всевозможным значениям многомерной выборки X, которая описывается условной плотностью вероятности
В силу свойства нормировки плотности вероятности последнее слагаемое в (1.3.3) равно нулю. Интеграл от первого слагаемого представляет среднее значение оценки
С учетом последнего усредненное значение
Левая часть этого выражения представляет собой среднее значение произведения двух случайных величин с конечными значениями первых двух моментов. При этих условиях для случайных величин
которое переходит в равенство, если случайные величины
или
Для несмещенных оценок и оценок с постоянным смещением дисперсия оценки удовлетворяет неравенству Рао-Крамера
Необходимо отметить, что во всех соотношениях усреднение производится по многомерной выборке наблюдаемых данных X (при непрерывной обработке — по всевозможным реализациям произшодные берутся в точке истинного значения оцениваемого параметра. Знак равенства в выражениях (1,3.7) и (1-3.8) достигается только для эффективных оценок. Применительно к выражению (1.3.7) рассмотрим условия, при которых неравенство обращается в равенство, т. е. оценка параметра является эффективной смещенной оценкойю Согласно (1.3.6) для этого необходимо, чтобы коэффициент взаимной корреляции между Действительно, представим производную логарифма функции правдоподобия в виде
где
и, следовательно, если производная логарифма отношения правдоподобия линейно зависит от достаточной оценки, то коэффициент пропорциональности не зависит от выборки Таким образом, для существования смещенной эффективной оценки необходимо выполнение двух условий: оценка должна быть достаточной (1.2.9) и должно выполняться соотношение (1.3.9). Аналогичные ограничения налагаются на существование эффективных несмещенных оценок, при которых в выражении (1.3.8) знак неравенства переходит в равенство. Полученное выше выражение для нижней границы дисперсии смещенной оценки справедливо и для нижней границы рассеяния смещенной оценки, так как
Последнее неравенство переходит в равенство, если кроме условия достаточности оценки справедливо соотношение
где Формула (1.3.10) выводится аналогично (1.3.7), если в исходном выражении (1.3.2) вместо Из характера условий (1.2.9) и (1.3.9) видно, что эффективные оценки существуют только в весьма специфических случаях. Также следует отметить, что эффективная оценка обязательно принадлежит к классу достаточных оценок, в то время как достаточная оценка не обязательно будет эффективной. Анализ выражения для дисперсии эффективной смешенной оценки 1.3.7) показывает, что могут существовать смещенные оценки, которые обеспечивают меньшую дисперсию оценки, чем несмещенные. Для этого необходимо, чтобы производная от смещения имела отрицательное значение и по абсолютной величине в точке истинного значения параметра была близка к единице. Поскольку в большинстве случаев интерес представляет средний квадрат результирующей ошибки оценки (рассеяние), имеет смысл говорить и о среднем квадрате ошибки оценки, который для любой оценки ограничен снизу:
При этом для эффективных оценок имеет место знак равенства. Нетрудно показать, что соотношения (1.3.10) и (1.3.12) совпадают, если выполняются соответственно условия (1.3.11) и (1.3.9). Действительно, подставив в числитель и знаменатель (1.3.10) значения, выраженные через функции Используя рассмотренные выше свойства эффективных оценок уточним их определение. Будем называть оценку у эффективной, если для нее либо выполняются условия (1.2.9) и (1.3.11), либо при заданном смещении
или рассеянием
либо при нулевом смещении эта оценка имеет дисперсию
Отметим, что характеристики эффективной оценки (1.3.13) — (1.3.15) могут быть вычислены и для тех параметров, для которых эффективной оценки не существует. В этом случае величины (1.3.13) -(1.3.15) определяют нижнюю границу (недостижимую) для соответствующих характеристик оценки. Для сравнения реальных оценок с эффективными в математической статистике введено понятие относительной эффективности оценок, представляющее отношение среднего квадрата отклонения эффективной оценки относительно истинного значения параметра к среднему квадрату отклонения реальной оценки относительно истинного значения параметра:
Здесь у — реальная оценка, эффективность которой равна Из определения дисперсии эффективной оценки (1.3.1) видно, что относительная эффективность оценки изменяется в пределах
Кроме понятия эффективных оценок существует понятие асимптотически эффективных оценок. При этом предполагается, что для достаточно большого времени наблюдения В заключение этого параграфа приведем еще одну форму записи характеристик эффективной оценки, для чего рассмотрим вторую производную логарифма отношения правдоподобия
Усредняя равенство (1.3.18) по выборке наблюдаемых данных X при фиксированном значении параметра I, находим
во втором слагаемом правой части (1.3.19) перейдем от отношения правдоподобия
Обозначая через
а для эффективной оценки со смещением
Формулы (1.3.21) и (1.3.22) в ряде задач упрощают вычисление характеристик эффективной оценки. Понятие и формулы для эффективной оценки одного параметра, обобщаются на совместную оценку нескольких неизвестных параметров 114]. Применительно к несмещенным совместно эффективным оценкам составляющих векторного параметра
Здесь
Необходимые и достаточные условия существования совместно эффективной оценки векторного параметра аналогичны условиям существования эффективной оценки одного неизвестного параметра (1.2.9) и (1.3.9), в которых под I надо понимать векторный параметр 1.
|
1 |
Оглавление
|