Глава 4. ОЦЕНКИ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ ПАРАМЕТРОВ ФЛУКТУИРУЮЩЕГО СИГНАЛА И СИГНАЛОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ ФАЗАМИ И АМПЛИТУДАМИ

4.1. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ФЛУКТУИРУЮЩЕГО СИГНАЛА

Рассмотрим оценку параметра нормального флуктуирующего сигнала, т. е. сигнала, который при фиксированном значении оцениваемого параметра является реализацией нормального случайного процесса.

Пусть на вход приемного устройства поступает аддитивная смссь сигнала и помехи

где - нормально флуктуирующий (по времени сигнал, представляющий собой реализацию условного нормального случайного процесса со средним значением

и функцией корреляции

— нормальный случайный процесс с нулевым средним значением и функцией корреляции Считаем, что флуктуирующий сигнал и помеха статистически независимы, так что

Для получения оценки максимального правдоподобия приемное устройство должно вырабатывать логарифм функционала отношения правдоподобия и определять положение абсолютного максимума Логарифм функционала отношения правдоподобия нормально флуктуирующего сигнала определяется из выражения (2.6.7)

где функции и находятся соответственно из решения интегральных уравнений и (2.6.9).

Для определения характеристик оценки максимального правдоподобия введем в рассмотрение сигнальную

и помеховую

составляющие. Тогда выражение (4.1.5) примет вид

Покажем, что при отсутствии ггомеховой составляющей, т. е. при логарифм функционала отношения правдоподобия достигает максимума в точке истинного значения оцениваемого параметра, Найдем первую и вторую производные сигнальной составляющей в точке Подставляя в выражение для из (4.1.5), выполняя усреднение по реализациям помехи и сигнала, учитывая выражение (2.6.8), имеем

Аналогично можно доказать, что всегда выполняется неравенство

Введем в рассмотрение отношение сигнал/помеха для принятого сигнала

и нормированные сигнальную и помеховую составляющие

для которых справедлива запись

Используя введенные обозначения, перепишем выражение для логарифма функционала отношения правдоподобия в виде

где Тогда уравнение правдоподобия для оценки параметра нормально флуктуирующего сигнала запишется в виде (3.1.7). Для достаточно больших отношений сигнал/помеха т. е. для при отсутствии аномальных ошибок оценивания приближенное решение уравнения правдоподобия можно искать в виде ряда по степеням где приближения определяются формулами (3.1.13), в которые

надо подставить функции Бели ограничиться первым приближением, то случайная ошибка единичного измерения равна

Так как то в первом приближении оценка несмещенная. Дисперсия оценки определяется формулой

где

Очевидно, определяя последующие приближения согласно (3.1.13), можно было бы найти второе приближение для смещения и дисперсии оценки. Однако это требует весьма громоздких вычислений

Рассматривая связь полученной оценки с несмещенной эффективной оценкой» дисперсия которой определяется формулой (1.3.15), нетрудно показать, что первое приближение для дисперсии оценки максимального правдоподобия параметра нормально флуктуирующего сигнала совпадает с дисперсией эффективной оценки. Поскольку погрешность выражения уменьшается с ростов отношения сигнал/помеха то оценка максимального правдоподобия будет асимптотически несмещенной и эффективной. При этом сигнал и помеха являются в общем случае нестационарными нормальными случайными процессами, а условие при котором оценка асимптотически эффективная, может быть выполнено на конечном интервале наблюдения

Если полезный сигнал и помеха являются стационарными процессами с нулевыми средними значениями и время корреляции их значительно меньше интервала наблюдения то выражение (4.1.5) можно несколько упростить. Логарифм функционала отношения правдоподобия согласно (2.6.19) равен

где определяются из выражений (2.6.23) и (2.6.24), в которых и - спектральные плотности сигнала помехи соответственно, измеренная в течение времени функция корреляции принимаемой смеси случайного сигнала и помехи (2.6.17). Из-за конечного времени наблюдения измерение функции осуществляется с ошибками, которые, естественно, тем меньше, чем больше отношение времени наблюдения к времени корреляции измеряемого процесса. Из нетрудно получить, что усредненное по

реализациям значение функции корреляции совпадает с истинным ее значением с учетом этих замечаний сигнальную составляющую можно записать в виде

Дисперсию оценки максимального правдоподобия параметра нормально флуктуирующего стационарного сигнала при больших в первом приближении находим из где в спектральном представлении [124]

В соответствии с (3.1.14) и (3.1.15) для стационарных сигнала и помехи можно найти вторые приближения смещения и дисперсии оценки. После достаточно громоздких преобразований [124] формулы для смещения и дисперсии оценки параметра нормально флуктуирующего сигнала примут вид

Здесь

Нетрудно убедиться, что в первом приближении оценка несмещенная, а дисперсия оценки совпадает с при подстановке значения из (4.1.19).