2.4. СВОЙСТВА ВЫХОДНОГО СИГНАЛА ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА

Рассмотрим более подробно основные свойства выходного сигнала оптимального приемника сигнала содержащего одни неизвестный параметр

Введем обозначения !

и подставим принятую реализацию в выражение для выходного сигнала оптимального приемника (2.3.1). Получим

Исследуем физический смысл и свойства введенных функций. помеха на выходе оптимального приемника (помеховая функция) — представляет собой результат операции интегрирования в течение фиксированного интервала времени входной гауссовой помехи с весовой функцией при всевозможных значениях параметра Следовательно, помеха на выходе оптимального приемника является нормальным случайным процессом. Так как среднее значение помехи на входе приемника равно нулю, т. е. то среднее значение помеховой функции также равно нулю, т. е. Функция корреляции нормального случайного процесса имеет вид

Учитывая интегральное уравнение (2.2.7), можем упростить последнее выражение

Дисперсия случайного процесса равна

Таким образом, помеха на выходе оптимального приемника является нормальным случайным процессом с нулевым средним значением и функцией корреляции, по форме совпадающей с выходным сигналом Дисперсия помехи на выходе приемника численно равна функции которая, как будет показано ниже, равна отношению сигнал/помеха на выходе оптимального приемника. При этом, в общем случае помеховая функция является нестационарным случайным процессом, даже если помеха на входе приемника стационарна.

сигнал на выходе оптимального приемника (сигнальная функция) - представляет собой функцию взаимной корреляции входного полезного сигнала и опорного сигнала местного гетеродина оптимального приемника с различными текущими значениями параметров Так как является одновременно функцией корреляции

помехи на выходе оптимального приемника, то

При приеме сигнала с истинным значением оцениваемого параметра сигнал на выходе в точке равен причем при значение сигнальной функции численно равно дисперсии помеховой функции при этом значении оцениваемого параметра, т. е. Отношение квадрата сигнальной функции точке к дисперсии помеховой функции в той же точке равно.

т. е. отношение мощности сигнала к средней мощности помехи на выходе оптимального приемника в точке I совпадает с введенной ранее функцией Отношение сигнал/помеха по мощности для принятого сигнала, т. е. в точке обозначим

Величину можно назвать отношением сигнал/помеха по напряжению.

Функция легко выражается через спектральные характеристики входных сигнала и помехи. Действительно, полагая, что входная помеха является стационарной, сигнал I) полностью расположен внутри интервала наблюдения и интервал наблюдения значительно больше времени корреляции входной помехи, решить уравнение (2.2.7) можно с помощью преобразования Фурье. Тогда опорный сигнал будет определяться выражением (2.3.10). Подставим в формулу для функции выраженные через их спектры в предположении, что сигнал полиостью расположен внутри интервала Учитывая

и используя фильтрующее свойство дельта-функции, имеем

Рассмотренные свойства сигнальной и помеховой функции показывают, что оптимальный приемник преобразует входные сигнал и помеху таким образом, что статистические свойства выходной помехи как случайной функции оцениваемого параметра подобны свойствам выходного полезного сигнала. Основным отличием полезного сигнала от помехи на выходе оптимального приемника является амплитудное различие, мерой которого служит отношение сигнал/помеха для принятого сигнала,

Используя выходной сигнал оптимального приемника, выражение для логарифма функционала отношения правдоподобия можем

записать как

Подставляя сюда принятую реализацию смеси сигнала и шума логарифм функционала отношения правдоподобия можем представить в виде суммы сигнальной составляющей

и помеховой составляющей так что

Нетрудно показать, что сигнальная составляющая логарифма функционала отношения правдоподобия достигает абсолютного максимума при Действительно, из очевидного неравенства

имеем

.Знак равенства достигается при значит Для суммы «сигнала» и «помехи» пнковое отношение сигнал/помеха по мощности, которое определяется как отношение квадрата абсолютного максимума «сигнала» к средней мощности «помехи» в точке максимума равно

Таким образом, отношение сигнал/помеха для принятого сигнала (т. е. при на выходе оптимального приемника равно учетверенному пиковому отношению мощностей сигнальной и помеховой составляющих логарифма функционала отношения правдоподобия.

Оцениваемые параметры сигнала можно разделить на два класса: энергетические и незнергетические. К энергетическим параметрам отнесем такие параметры, от которых зависит величина отношения сигнал/помеха на выходе оптимального приемника, например, амплитуда и длительность сигнала. На первый взгляд может показаться, что к этому классу параметров относятся только параметры, от значений которых зависит энергия принимаемого сигнала. Однако в ряде задач может оказаться, что энергия принимаемого сигнала не зависит от оцениваемого параметра, а отношение сигнал/помеха зависит от него. Подобные задачи имеют место при приеме сигнала на фоне нестационарного или небелого шума.

Неэнергетнческими параметрами будем называть такие параметры, для которых отношение сигнал/помеха на выходе оптимального приемника не зависит от конкретного значения оцениваемого параметра.

Согласно приведенному определению для неэнергетического параметра и выходной сигнал оптимального приемника

(2.3.1) совпадает с логарифмом функционала отношения правдоподобия (2.4.9) с точностью до постоянной.

В весьма общем случае при оценке незнергетического параметра функция корреляции выходной помехи, а следовательно, и полезный сигнал на выходе оптимального приемника зависят лишь от абсолютной величины разности т. е. при оценке незнергетического параметра справедливо равенство [16, 93],