9.2. КВАЗИОПТИМАЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА ПРИ ПРИЕМЕ НА ФОНЕ ПОМЕХИ С НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙ КОРРЕЛЯЦИИ

Структура оптимального приемного устройства, полученная для оценки параметра сигнала на фойе нормальных помех с неизвестной функцией корреляции, оказывается достаточно сложной при практической реализации В связи с этим представляет интерес построение более простых приемных устройств. Как и в § 9.1, оценку неизвестного параметра сигнала будем искать по положению абсолютного максимума функции, получаемой из логарифма функционала отношения правдоподобия при замене точного значения функции корреляции некоторым приближенным значением, измеренным в течение времени приема Очевидно, возможно множество различных методов формирования оценки параметра сигнала таким образом Выбор между этнми возможными методами может быть сделан в зависимости от требований, предъявляемых к качеству оценки, и от степени простоты технической реализации такого метода.

Рассмотрим один из методов, позволяющий получить асимптотически несмещенную оценку параметра сигнала, причем дисперсия этой оценки при определенных условиях приближается к дисперсии оценки максимального правдоподобия при известной функции корреляции.

Пусть на вход приемного устройства в течение интервала поступает аддитивная смссь сигнала и помехи (9.1 1). Будем полагать, что полезный сигнал и стационарная нормальная помеха дифференцируемы по (в среднеквадратнческом смысле) требуемое чнело раз, а функция корреляции помехи априори неизвестна наблюдателю. В дальнейшем ограничимся рассмотрением оценки только неэнергетических параметров сигнала В этом случае оценка максимального правдоподобия определяется по положению абсолютного максимума выходного сигнала оптимального приемника (2.3 1), где опорный сигнал является решением интегрального уравнения (2.2.7), в которое вместо истинной функции корреляции помехи должна быть подставлена ее оценка.

Для получения оценки функции корреляции помехи воспользуемся разложением функции корреляции дифференцируемого случайного процесса в ряд Тейлора (по дисперсиям ее производных):

где

— дисперсия производной помехи.

Ряд (9 2.1) сходится к при если спектр помехи ограничен по полосе. Условие ограниченности спектра помехи не является слишком жестким, так как любые измерения случайных процессов возможны в конечной полосе частот, обусловленной возможностями применяемой аппаратуры и различными техническими причинами Поскольку практически для любой функции корреляции стационарного

случайного процесса существует такое что

где заданная малая величина, то можно аппроксимировать следующим образом:

а искать структуру приемного устройства для функции корреляций в виде (9.2.4).

Вычисляя преобразование Фурье от аппроксимацйи подставляя результат в (2.3.10) и полагая настолько большим, что остаточный член формулы (9.2.4) достаточно мал, имеем

Здесь

Для получения оценок дисперсий производных помехи используем величины

Эти величины пропорциональны мощностям производных соответственно смеси сигнала и помехи и полезного сигнала

В качестве оценки дисперсии производной помехи примем величину

Структура устройства для оценки неэнергетического параметра показана на рис. 9.2.1. Здесь 3 — блок, осуществляющий задержку смеси сигнала и помехи на величину длительности интервала наблюдения квадраторы; генератор, вырабатывающий оценку опорного сигнала согласно (9 2.5), где заменены их оценками Остальные обозначения понятны из надписей на рисунке.

Если количество слагаемых в (9.2.4) таково, что функция корреляции аппроксимируется с достаточной точностью, то приемное устройство, представленное на рис. 9.2.1., отличается от оптимального приемника тем, что в выражении для опорного сигнала местного гетеродина точные значения заменены их оценками.

Нетрудно показать, что оценки дисперсий производных помехи (9.27) несмещенные и при выполнении условия то имеем

Подставляя в (9.2.5) вместо точных значений дисперсий производных помехи их оценки получаем оценку опорного сигнала

где

Рис. 9.2.1. Структурная схема устройства для оценки параметра известного сигнала при неизвестной функции корреляции помехи.

Используя формулу бинома, в силу условия (9.2.8) выражение (9.2.9) можно приближенно представить как

Функция I) является случайной. Так как получаемые оценки дисперсий производных помехи (9.2.7) несмещенные, то

Подставляя в (2.3.1) вместо оценку этой функции и принимаемую сумму сигнала и помехи, получаем, что оценка параметра I определяется по положению абсолютного максимума функции

Полагая отношение сигнал/помеха для принятого сигнала достаточно большим и ограничиваясь в первом приближении использованием первых трех членов разложения функции в ряд Тейлора в окрестности точки отклонение оценки относительно истинного значения можем записать в виде

Рассмотрим величину, стоящую в знаменателе:

Учитывая сделанное выше предположение о достаточно большой величине отношения сигнал/помеха, а также соотношение получаем, что «мощность» последнего слагаемого в правой части (9.2.14) значительно превышает дисперсию остальных членов в этом выражении. Поэтому в дальнейшем можно положить

где ненормированная сигнальная функция, определяемая (2.4.1). Использование приближенного равенства (9.2.15) соответствует рассмотрению первого приближения.

Для неэнергетических параметров функция является четной функцией относительно точки и зависит только от модуля разности В результате получаем, что оценка неэнергетического параметра сигнала в первом приближении имеет смещение, равное

Учитывая четный характер сигнальной функции, а также то, что при в силу центральной предельной теоремы распределение случайной функции полагается нормальным, выражение для днеперсии оценки можно представить в виде

Здесь дисперсия оптимальной оценки максимального правдоподобия параметра I при приеме в нормальной помехе с известной функцией корреляции достаточно большое и ошибка за счет аппроксимации (9.2.4) пренебрежимо мала) определяется выражением

где

Величина показывает ухудшение качества оценки за счет ошибок измерения априори неизвестной функции корреляции помехи. Вычисляя для различных функций корреляции и сигналов, по допустимому увеличению дисперсии оценки можно найти необходимое время наблюдения Для рассматриваемой помехи

и, следовательно, оценка неэиергетичсского параметра, получаемая с помощью приемного устройства на рис. 9.2.1, асимптотически (при несмещенная и обладает дисперсией, асимптотически равной дисперсии оптимальной оценки при известной функции корреляции помехи, Последнее позволяет назвать это приемное устройство квазиоптимальным.

Определение смещения и дисперсии оценки параметра сигнала для произвольных значений интервала наблюдения в достаточно простой форме не представляется возможным в связи с трудностями, возникающими при решении уравнения и усреднении случайной ошибки измерения неизвестного параметра сигнала.