2.5. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМНИК УЗКОПОЛООНОГО РАДИОСИГНАЛА СО СЛУЧАЙНОЙ НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ

При приеме узкополосного радиосигнала с неизвестными параметрами

функционал отношения правдоподобия в соответствии с общим выражением (2.2.8) имеет вид

где определяется из интегрального уравнения, аналогичного

В § 2.3 доказано, что для широкого класса стационарных помех и узкополосных радиосигналов решение уравнения (2.5.3) можно представить как (2.3.24), которое также можно записать в виде

Подставим значение в выражение для функционала отношения правдоподобия (2.5.2). После несложных преобразований получим

где

В последнем выражении в силу узкополосности полезного и опорного сигналов отброшен интеграл от члена, осциллирующего с удвоенной частотой т. е. считаем

Полагаем, что подлежит оценке только параметр а начальная фаза сигнала является случайным сопровождающим параметром с априорной плотностью вероятности Тогда согласно (1.1.11) функционал отношения правдоподобия параметра I определяется выражением

В качестве априорного распределения начальной фазы выберем функцию [27]

где параметры характеризуют соответственно положение и ширину пика априорного распределения; — функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка. Путем выбора параметров можно аппроксимировать введенной функцией большой класс унимодальных плотностей вероятности. В частности, при получаем широко используемое в задачах оценки и обнаружения равномерное априорное распределение начальной фазы. При больших значениях А, учитывая асимптотическое поведение функции плотность вероятности приближается к нормальной с дисперсией и средним значением В. Если то априорная плотность вероятности вырождается в дельта-функцию, что соответствует приему узкополосного радиосигнала с точно известной начальной фазой.

Подставляя (2.5.9), (2.5.6) в (2.5.8) и выполняя интегрирование, находим функционал отношения правдоподобия

где

Как видно из этих выражений, в качестве выходного сигнала оптимального приемника можно использовать функцию

Функция является достаточной статистикой, необходимой для формирования оценки параметра оптимальной в смысле какого-либо критерия. На рис. 2.5.1 приведена структурная схема приемного устройства для образования где обозначено В качестве опорных сигналов на умножители (смесители) подаются сдвинутые по фазе на опорные сигналы которые в радиотехнике называются квадратурными сигналами. Поэтому схема оптимального приемника, приведенная на рис. 2.5.1, может быть названа корреляционной схемой с двумя квадратурными каналами.

Рис. 2.57. Структурная схема оптимального приема радиосигнала со случайной начальной фазой.

Если случайная начальная фаза полезного сигнала распределена равновероятно на интервале то выражение для выходного сигнала приемника получаем, положив в

Для равномерного априорного распределения начальной фазы структурная схема оптимального приемника (рис. 2.5.1) упростится, так как в этом случае

Рассмотрим основные свойства квадратурных компонент выходного сигнала оптимального приемника. Для упрощения записи введем обозначения.

Подставляя в выражения для принятую реализацию смеси сигнала и помехи

и отбрасывая интегралы от членов, осциллирующих с удвоенной частотой, получаем

Индексом нуль обозначены истинные значения соответствующих параметров в принимаемом сигнале. Поскольку предполагается, что входная помеха имеет нулевое среднее значение, то

Помеховые функции получены в результате линейного преобразования нормального случайного процесса, и поэтому они также являются нормальными.

Найдем функции корреляции для квадратурных составляющих, выходной помехи. Для составляющей имеем

Положив в уравнении приходим к выражению

Используя это выражение и отбрасывая в (2.5.21) интеграл от члена, осциллирующего с удвоенной частотой, можем записать

Для второй квадратурной составляющей помехи аналогичным образов можем записать (полагая в

Соответственно для дисперсий помех на выходе линейной части оптимального приемника получаем

Функции взаимной корреляции помех соответственно равны

Согласно выражению (2.5.15)

После замены на на учитывая (2.2.5), имеем

Отсюда или непосредственно из преобразования предыдущего выражения получаем, что для совпадающих значений параметров квадратурные составляющие выходной помехи не коррелированы:

Выражения для квадратурных составляющих выходного сигнала оптимального приемника и (2.5.19) можно переписать как

где

Нетрудно заметить, что функция определяется аналогично огибающей узкополосного процесса с квадратурными составляющими Функция при этом выполняет роль начальной фазы полезного сигнала на выходе оптимального приемника. Итак квадратурные составляющие полезного сигнала в силу (2.5.24) — {2.5.27) обладают следующими свойствами;

Из соотношений для огибающей полезного сигнала имеем

Рассмотрим связь сигнальной функции с сигнальной функцией получаемой на выходе оптимального приемника при оценке двух параметров сигнала, и с сигнальной функцией при оценке параметра I того же сигнала, но с априори точно известной начальной фазой. Полезный сигнал на выходе оптимального приемника в случае, когда оба неизвестных параметра являются оцениваемыми, аналогично (2.4.1) определяется выражением

т. е. функцию (2.5.30) можно рассматривать как огибающую функции Еслн начальная фаза радиосигнала априори

известна, то, положив в получаем сигнальную функцию при приеме детерминированного сигнала

Найдем отношение сигнал/помеха на выходе линейной части оптимального приемника узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой, определив его как отношение квадрата огибающей полезного сигнала какой-либо из квадратурных составляющих в точке к средней мощности той же квадратурной помеховой составляющей и в той же точке:

Если оцениваемый параметр является незнергетическим, то и в весьма большом числе случаев [153] сигнальная функция является четной функцией разности своих аргументов, т. е.

Для неэнергетического параметра из формулы (2.5.35) следует

т. е. квадратурные составляющие выходной помехи являются стационарными нормальными случайными процессами. Соответственно при выполнении (2.5.36) и (2.5.37) из (2.5.30) получаем

Учитывая теперь можем записать

т. е. при оценке неэнергетического параметра является четной, -нечетной функцией разности своих аргументов. Кроме того, поскольку - функция корреляции стационарного случайного процесса она достигает максимума при — равного

Функция также ограничена сверху величиной Действительно, из очевидного неравенства

выполняя усреднение, получаем

Сигнальная функция при оценке иеэнергетического параметра достигает максимума при т. е.

Для доказательства этого соотношения используем формулу (2.5.34). При оценке двух неэнергстичееких параметров функция представляет собой корреляционную функцию двумерного нормального случайного процесса. Следовательно [27],

Так как есть огибающая то из последнего соотношения получаем (2.541).

Пиковое отношение сигнал/помеха, которое определим как отношение квадрата максимума огибающей сигнальной компоненты какой-либо из квадратурных составляющих выходного сигнала к средней мощности помеховой компоненты той же квадратурной составляющей выходного сигнала, равно

Следовательно, величина введенная как отношение сигнал/помеха для принятого сигнала, для неэнергетического параметра I совпадает с пиковым отношением сигнал/помеха.

Приведем краткое обобщение полученных результатов на случай приема узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой, содержащего несколько оцениваемых параметров. Запишем полезный сигнал в виде

где I — вектор оцениваемых параметров; случайная начальная фаза с плотностью вероятности Выходной сигнал оптимального приемника можно записать аналогично

где определяется соотношением в которое вместо квадратурных составляющих необходимо подставить функции векторного параметра 1:

Здесь огибающая опорного сигнала который является решением интегрального уравнения, аналогичного (2.5.3):

Выходной сигнал оптимального приемника теперь будет функцией неизвестного векторного параметра что существенно затрудняет реализацию приемного устройства. Отметим также, что при приеме сигнала с неизвестными составляющими векторного параметра сигнальные и помеховые квадратурные составляющие выходного сигнала оптимального приемника обладают свойствами, аналогичными свойствам этих функций при приеме сигнала с одним неизвестным параметром.