4.5. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ ПРИЕМЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ РАДИОИМПУЛЬСОВ

Рассмотрим оценку параметра сигнала при приеме последовательности (пачки) импульсов одинаковой формы, содержащих неизвестный оцениваемый параметр и имеющих в общем случае разные известные амплитуды и случайные начальные фазы. Будем считать, что прием последовательности осуществляется на фоне нормальной помехи и оцениваемый параметр остается постоянным в течение времени приема всей последовательности радиоимпульсов. Кроме этого полагаем, что отношение сигнал/помеха для всей последовательности достаточно велико, чтобы отсутствовали аномальные ошибки, в то время как отношение сигнал/помеха для одного радиоимпульса может быть малым.

Итак, пусть на вход приемного устройства в течение времени поступает аддитивная смесь сигнала и нормальной помехи, где сигнал может быть записан в виде

Здесь период повторения импульсов в последовательности; число принятых импульсов.

Для дальнейшего рассмотрения удобнее переписать принимаемую сумму сигнала и помехи как

причем для помехи предполагается справедливой запись

т. е. помехи в различных периодах повторения (реализациях) независимы, а функции корреляции помехи во всех периодах повторения одинаковы.

В зависимости от характера изменения начальных фаз радиоимпульсов в последовательности рассмотрим два типовых случая приема последовательности радиоимпульсов — когерентный и некогерентный. При этом будем полагать, что амплитуды импульсов известны.

1. Когерентный прием. Пусть начальные фазы всех радиоимпульсов одинаковы и распределены равномерно на интервале Тогда логарифм функционала отношения правдоподобия для когерентной пачки радиоимпульсов в соответствии с выражением (2.7.13) равен

где сигнал и отношение сигнал/помеха на выходе оптимального приемника определены соотношениями (2.7.14) и (2.7.11).

Структурная схема оптимального устройства для оцейки параметра имеет такой же вид, как и для приема одиночного радиоимпульса (рис, 4.3.1), с тем отличием, что теперь оптимальный приемник должен осуществлять операцию суммирования квадратурных составляющих до преобразователя с характеристикой

При сделанных предположениях о достаточно большом суммарном отношении сигнал/помеха для принятой последовательности

в окрестности истинного значения параметра можно воспользоваться аппроксимацией в виде

Представление в такой форме имеет погрешность порядка для значений близких к что соответствует первому приближению при вычислении характеристик оценки. Поэтому в этом параграфе ограничимся рассмотрением характеристик оценки параметра сигнала в первом приближении.

Для упрощения выкладок при вычислении смещения и дисперсий оценки воспользуемся комплексным представлением полезного и опорного сигналов. Опорный сигнал в комплексном представлении определяется выражением (4.4.10), а полезный сигнал аналогично (4.4.12) будет иметь вид

Аналогично (4.4.13) и (4.4.14) обозначим

где функции определяемые соответственно (2.5.30) и (2.5.31) при замене верхнего предела интегрирования , применительно к комплексному представлению полезного и опорного сигналов могут быть записаны как

Так как для любого комплексного числа выполняется соотношение функцию можем представить в виде

Подставляя сюда принимаемую сумму сигнала и помехи используя введенные ранее обозначения, можем записать

Здесь

Подставляя приближенное соотношение (4.5.13) в (4.5.6), получаем

где

При использовании первого приближения выражение для ошибки оценки определяется соотношением (4.3.14). Вычисляя соответствующие моменты и производные, находим, что оценка параметра несмещенная, а дисперсия ее определяется формулой

где нормированная сигнальная функция одиночного импульса с единичной амплитудой.

Сравнивая (4.5.17) с (4.3.15), видим, что первое приближение для дисперсии оценки параметра когерентной последовательности радиоимпульсов имеет такой же вид, как и для одиночного радиоимпульса с энергией равной суммарной энергии всех импульсов когерентной последовательности. В частности, если амплитуды всех импульсов когерентной последовательности одинаковы, т. е. то формула для дисперсии оценки параметра перепишется в виде

где дисперсия оценки параметра при приеме одного радиоимпульса со случайной начальной фазой Отметим, что формула (4.5.17) получена для большого суммарного отношения сигнал/помеха всей пачки Если число импульсов у мало, то необходимо, чтобы было велико отношение сигнал/помеха для каждого импульса. Если тогда возможно

2. Некогерентный прием. При некогерентном приеме полагается, что начальные фазы радиоимпульсов последовательности независимы, случайны и равномерно распределены на интервале

Логарифм функционала отношения правдоподобия при некогерентном приеме определяется из выражения (2.7.16);

где находится из соотношения (2,7,17).

Положим вначале, что отношение сигнал/помеха для каждого импульса мало:

в то время как число импульсов настолько велико что для отсутствия аномальных ошибок суммарное отношение сигнал/помеха

обеспечивается достаточно большим.

Учитывая, что для малых справедливо приближенное равен-

выходной сигнал оптимального приеминка можио представить в виде

где

В формуле учитываются члены, имеющие порядок малости не менее порядка малости сигнальной составляющей (члены с и Нетрудно показать, что среднее значение функции

достигает максимума в точке

Совпадение в среднем максимума сигнала с истинным значением оцениваемого параметра свидетельствует о несмещенности оценки параметра в первом приближении. Дисперсия оценки параметра сигнала в этом же приближении может быть вычислена по формуле для дисперсии эффективной несмещенной оценки (1.3.21), в соответствии с которой имеем

Если оцениваемый параметр неэнергетический, формула для дисперсии опенки параметра упрощается и принимает вид

Сравним дисперсии оценок параметров при когерентном и некогерентном приемах «слабых» сигналов. Из формул и (4.5.21) получаем, что отношение этих дисперсий равно

Применительно к оценке неэнергетического параметра сигнала и условию приема последовательности с одинаковой амплитудой отношение дисперсий численно равно Поскольку полагалось то нетрудно сделать вывод о значительном преимуществе когерентного приема по сравнению с некогерентным при условии, что отношение сигнал/помеха для каждого нмпульса мало, а число импульсов в последовательности велико.

Рассмотрим некогерентный прием при больших отношениях сигнал/помеха для каждого импульса в последовательности, т. е. будем полагать, что

В этом случае, используя асимптотическое поведение функции при 1, выражение для логарифма функционала отношения правдоподобия перепишем в виде

Представляя каждую элементарную огибающую в виде, аналогичном (4.5.13), приходим к формуле полученной при анализе когерентного приема. Следовательно, если отношение сигнал/помеха для каждого импульса последовательности велико, то характеристики оценки при некогерейтном приеме совпадают с соответствующими характеристиками при когерентном приеме.

В заключение этого параграфа приведем обобщения полученных результатов для нестационарной помехи, функция корреляции которой в периоде повторения описывается формулой (3.2.9). Для простоты аналитических выражений будем считать амплитуды импульсов в последовательности одинаковыми и ограничимся оценкой неэнерготических параметров. В этом случае оценка несмещенная, а дисперсия оценок при некогерентном и когерентном приемах соответственно

определяются формулами

Здесь приняты обозначения

— отношение сигнал/помеха для одного импульса при приеме на фоне помехи с единичной дисперсией; огибающая выходного сигнала оптимального приемника при приеме одного радиоимпульса и помехе с единичной дисперсией, причем