Главная > Оценка параметров сигналов на фоне помех
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

4.5. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ ПРИЕМЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ РАДИОИМПУЛЬСОВ

Рассмотрим оценку параметра сигнала при приеме последовательности (пачки) импульсов одинаковой формы, содержащих неизвестный оцениваемый параметр и имеющих в общем случае разные известные амплитуды и случайные начальные фазы. Будем считать, что прием последовательности осуществляется на фоне нормальной помехи и оцениваемый параметр остается постоянным в течение времени приема всей последовательности радиоимпульсов. Кроме этого полагаем, что отношение сигнал/помеха для всей последовательности достаточно велико, чтобы отсутствовали аномальные ошибки, в то время как отношение сигнал/помеха для одного радиоимпульса может быть малым.

Итак, пусть на вход приемного устройства в течение времени поступает аддитивная смесь сигнала и нормальной помехи, где сигнал может быть записан в виде

Здесь период повторения импульсов в последовательности; число принятых импульсов.

Для дальнейшего рассмотрения удобнее переписать принимаемую сумму сигнала и помехи как

причем для помехи предполагается справедливой запись

т. е. помехи в различных периодах повторения (реализациях) независимы, а функции корреляции помехи во всех периодах повторения одинаковы.

В зависимости от характера изменения начальных фаз радиоимпульсов в последовательности рассмотрим два типовых случая приема последовательности радиоимпульсов — когерентный и некогерентный. При этом будем полагать, что амплитуды импульсов известны.

1. Когерентный прием. Пусть начальные фазы всех радиоимпульсов одинаковы и распределены равномерно на интервале Тогда логарифм функционала отношения правдоподобия для когерентной пачки радиоимпульсов в соответствии с выражением (2.7.13) равен

где сигнал и отношение сигнал/помеха на выходе оптимального приемника определены соотношениями (2.7.14) и (2.7.11).

Структурная схема оптимального устройства для оцейки параметра имеет такой же вид, как и для приема одиночного радиоимпульса (рис, 4.3.1), с тем отличием, что теперь оптимальный приемник должен осуществлять операцию суммирования квадратурных составляющих до преобразователя с характеристикой

При сделанных предположениях о достаточно большом суммарном отношении сигнал/помеха для принятой последовательности

в окрестности истинного значения параметра можно воспользоваться аппроксимацией в виде

Представление в такой форме имеет погрешность порядка для значений близких к что соответствует первому приближению при вычислении характеристик оценки. Поэтому в этом параграфе ограничимся рассмотрением характеристик оценки параметра сигнала в первом приближении.

Для упрощения выкладок при вычислении смещения и дисперсий оценки воспользуемся комплексным представлением полезного и опорного сигналов. Опорный сигнал в комплексном представлении определяется выражением (4.4.10), а полезный сигнал аналогично (4.4.12) будет иметь вид

Аналогично (4.4.13) и (4.4.14) обозначим

где функции определяемые соответственно (2.5.30) и (2.5.31) при замене верхнего предела интегрирования , применительно к комплексному представлению полезного и опорного сигналов могут быть записаны как

Так как для любого комплексного числа выполняется соотношение функцию можем представить в виде

Подставляя сюда принимаемую сумму сигнала и помехи используя введенные ранее обозначения, можем записать

Здесь

Подставляя приближенное соотношение (4.5.13) в (4.5.6), получаем

где

При использовании первого приближения выражение для ошибки оценки определяется соотношением (4.3.14). Вычисляя соответствующие моменты и производные, находим, что оценка параметра несмещенная, а дисперсия ее определяется формулой

где нормированная сигнальная функция одиночного импульса с единичной амплитудой.

Сравнивая (4.5.17) с (4.3.15), видим, что первое приближение для дисперсии оценки параметра когерентной последовательности радиоимпульсов имеет такой же вид, как и для одиночного радиоимпульса с энергией равной суммарной энергии всех импульсов когерентной последовательности. В частности, если амплитуды всех импульсов когерентной последовательности одинаковы, т. е. то формула для дисперсии оценки параметра перепишется в виде

где дисперсия оценки параметра при приеме одного радиоимпульса со случайной начальной фазой Отметим, что формула (4.5.17) получена для большого суммарного отношения сигнал/помеха всей пачки Если число импульсов у мало, то необходимо, чтобы было велико отношение сигнал/помеха для каждого импульса. Если тогда возможно

2. Некогерентный прием. При некогерентном приеме полагается, что начальные фазы радиоимпульсов последовательности независимы, случайны и равномерно распределены на интервале

Логарифм функционала отношения правдоподобия при некогерентном приеме определяется из выражения (2.7.16);

где находится из соотношения (2,7,17).

Положим вначале, что отношение сигнал/помеха для каждого импульса мало:

в то время как число импульсов настолько велико что для отсутствия аномальных ошибок суммарное отношение сигнал/помеха

обеспечивается достаточно большим.

Учитывая, что для малых справедливо приближенное равен-

выходной сигнал оптимального приеминка можио представить в виде

где

В формуле учитываются члены, имеющие порядок малости не менее порядка малости сигнальной составляющей (члены с и Нетрудно показать, что среднее значение функции

достигает максимума в точке

Совпадение в среднем максимума сигнала с истинным значением оцениваемого параметра свидетельствует о несмещенности оценки параметра в первом приближении. Дисперсия оценки параметра сигнала в этом же приближении может быть вычислена по формуле для дисперсии эффективной несмещенной оценки (1.3.21), в соответствии с которой имеем

Если оцениваемый параметр неэнергетический, формула для дисперсии опенки параметра упрощается и принимает вид

Сравним дисперсии оценок параметров при когерентном и некогерентном приемах «слабых» сигналов. Из формул и (4.5.21) получаем, что отношение этих дисперсий равно

Применительно к оценке неэнергетического параметра сигнала и условию приема последовательности с одинаковой амплитудой отношение дисперсий численно равно Поскольку полагалось то нетрудно сделать вывод о значительном преимуществе когерентного приема по сравнению с некогерентным при условии, что отношение сигнал/помеха для каждого нмпульса мало, а число импульсов в последовательности велико.

Рассмотрим некогерентный прием при больших отношениях сигнал/помеха для каждого импульса в последовательности, т. е. будем полагать, что

В этом случае, используя асимптотическое поведение функции при 1, выражение для логарифма функционала отношения правдоподобия перепишем в виде

Представляя каждую элементарную огибающую в виде, аналогичном (4.5.13), приходим к формуле полученной при анализе когерентного приема. Следовательно, если отношение сигнал/помеха для каждого импульса последовательности велико, то характеристики оценки при некогерейтном приеме совпадают с соответствующими характеристиками при когерентном приеме.

В заключение этого параграфа приведем обобщения полученных результатов для нестационарной помехи, функция корреляции которой в периоде повторения описывается формулой (3.2.9). Для простоты аналитических выражений будем считать амплитуды импульсов в последовательности одинаковыми и ограничимся оценкой неэнерготических параметров. В этом случае оценка несмещенная, а дисперсия оценок при некогерентном и когерентном приемах соответственно

определяются формулами

Здесь приняты обозначения

— отношение сигнал/помеха для одного импульса при приеме на фоне помехи с единичной дисперсией; огибающая выходного сигнала оптимального приемника при приеме одного радиоимпульса и помехе с единичной дисперсией, причем

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru