8.4. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ РАДИОСИГНАЛА С НЕИЗВЕСТНОЙ ОГИБАЮЩЕЙ

Рассмотрим оценку параметра радиосигнала, форма огибающей которого неизвестна при приеме на фоне аддитивного белого шума с односторонней спектральной плотностью При этом будем полагать, что фазовые искажения отсутствуют. Поэтому при нахождении оценки неизвестного параметра I считаем, что принимаемый узкополосный радиосигнал имеет вид

где неизвестная функция зремеии (огибающая)

Учитывая (2.3 3), получаем выражение для логарифма функционала отношения правдоподобия (2.2.8) (с точностью до интеграла от члена, осциллирующего с частотой

Представим неизвестную огибающую в виде ряда по системе ортонормированиях функций т. е.

Задавшись достаточно большим числом членов разложения приближенно можно записать

Функции при надо выбирать такими, чтобы они изменялись медленно по сравнению с колебанием несущей частоты С учетом сказанного логарифм функционала отношения правдоподобия равен

Здесь

Для оценки параметра в качестве выходного сигнала приемника используем (8.4 5) при значениях обращающих а

макмимум. Максимизируя по приходим к выражению

Следовательно, приемное устройство содержит параллельных каналов, каждый из которых согласован с сигналом Квадраты выходных величин этих каналов суммируются при всевозможных значениях Оценка неизвестного параметра находится по положению абсолютного максимума Подставим принимаемую сумму сигнала и помехи в (8.4.6) и введем обозначения

Тогда с точностью до интегралов от членов, осциллирующих с частотой выходной сигнал приемника имеет вид

а отношение сигнал/помеха на выходе приемника равно

где

Положим, что отношение сигнал/помеха для принятого сигнала велико. В этом случае, ограничиваясь рассмотрением первого приближения, случайную ошибку единичного измерения можем представить в виде (4.1.14).

Нетрудно показать, что в рассматриваемом приближении оценка параметра несмещенная, так как среднее значение помеховой функции определяется выражением

и не зависит от оцениваемого параметра Условная дисперсия оценки лараметра в рассматриваемом приближении равна

где

Для достаточно большого отношения сигнал/помеха можно пренебречь составляющей помеховой функции которая квадратично зависит от реализации помехи на входе Если к тому же число каналов настолько велико, что ошибка аппроксимации огибающей конечным числом ряда (8.4.4) мала, то соотношения упрощаются и принимают вид

При этом дисперсия оценки параметра равна

Пусть сигнал полностью расположен внутри интервала наблюдения и условия (8 4.15) и (8.4 16) выполняются. Определим увеличение дисперсии оценки, возникающее вследствие незнания формы огибающей радиосигнала.

Если форма огибающеи известна, то для неэнергетического параметра дисперсия оценки максимального правдоподобия в соответствии первым слагаемым формулы (4 4 1) и с учетом (2.5.15) и (2.3.3) может быть представлена в виде

Сравнивая эту формулу с (8.4.17), имеем

т. е. в общем случае незнание формы огибающей радиосигнала приводит к увеличению дисперсии оценки. Однако если оцениваемый параметр закодирован только в фазе радиосигнала с неизвестной огибающей, так что то дисперсии оценок совпадают.

Применительно к оценке векторного параметра выходной сигнал приемника определяется выражением (8 4.6) при замене I на I, а первое приближение для случайной ошибки оценки параметра по максимуму выходного сигнала — а/иалогично (4.7.5), Где надо положить а под понимать соответственно определитель порядка с элементами

алгебраическое дополнение этого определителя Аналогично оценке одиночного параметра нетрудно показать, что в первом приближений оценки параметров несмещенные, а корреляционная матрица совместных оценок равна [152]

где

Если отношение сигнал/помеха достаточно велико (и ошибка аппроксимации огибающей конечным числом членов ряда (8.4.4) мала, то справедливы соотношения, аналогичные оценке одного параметра. При этом корреляционная матрица совместных оценок имеет вид

где определитель порядка с элементами

алгебраические дополнения Этого определителя.

Если для всех оцениваемых параметров т. е. неизвестный параметр входит только в фазу сигнала с известной огибающей, то матрица совпадает с корреляционной матрицей совместных оценок максимального правдоподобия известного сигнала (3.3.10).

Рассмотрим прием радиосигнала с неизвестной огибающей, содержащего оцениваемых параметров 1 и неизвестную начальную фазу При этом начальная фаза оценке не подлежит, является сопровождающим параметром. Такой сигнал может быть записан как

Оценки параметров 1 можно получить, совместно оценнвая при помощи (8.4.6) параметры и начальную фазу Однако начальную фазу целесообразно исключить из выражения получаемого подстановкой в (8.4.6) вместо функции Для этого следует максимизировать по В результате выходной сигнал приемника при оценке параметра радиосигнала с неизвестными огибающей и начальной фазой перепишется в виде

где

Корреляционную матрицу оценок, получаемых по измерению положения наибольшего максимума (8.4 23), можно отноентельно просто найти, если выполняются условия достаточно большого отношения сигнал/помеха и малой ошибки аппроксимации огибающей конечным числом членов ряда (8.4 4) В этом случае элементы корреляционной матрицы совместных оценок параметров радиосигнала с неизвестной амплитудой и неизвестной начальной фазой определяются как [152]

где определитель порядка с элементами

В частном случае при оценке одного параметра радиосигнала с неизвестными огибающей и начальной фазой дисперсия оценки равна

Сравнение показывает, что всегда незнание начальной фазы приводит в общем случае к увеличению дисперсии оценки, так же как и при приеме радиосигнала с известной огибающеи