2.7. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМНИК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСОВ

Пусть на вход приемного устройства поступает не один сигнал, как предполагалось выше, а последовательность (пачка) импульсов в общем случае различной формы, причем каждый из импульсов может содержать сопровождающие параметры. Задачу приема пачки импульсов, т. е. сигналов, разделенных во времени, можно рассматривать как частный случай более общей задачи приема сигналов, поступающих различным каналам передачи информации. Эти каналы в случае приема последовательности импульсов разнесены по времени. В других задачах возможны каналы, разнесенные по частоте, по направлению прихода сигналов, по поляризации и т. д.

Найдем функционал отношения правдоподобия при приеме реализаций смесн сигнала и помехи

полагая, что каждая реализация принимается в течение времени Здесь полезный сигнал, содержащий неизвестный параметр величину которого считаем одинаковой для всех принимаемых реализаций; реализация помехи в реализации наблюдаемых данных

Пусть помехи в различных реализациях наблюдаемых данных статистически независимы, тогда функционал, отношения правдоподобия можио записать как

где функционал отношения правдоподобия при приеме одной реализации наблюдаемых данных.

Применительно к нормальной помехе из (2.2.8) и (2.7.2) получаем

Здесь решение интегрального уравнения вида (2.2.7) для сигнала I) и функции корреляции помехи реализации наблюдаемых данных.

Независимость помехи в различных реализациях эквивалентна соотношению

Согласно (2.7.3) при приеме последовательности импульсов выходной сигнал оптимального приемника определяется выражением

т. е. представляет собой сумму выходных эффектов приемников одиночных сигналов, которые производят обработку импульсов в каждом периоде повторения раздельно.

Определим структуру оптимального приемника последовательности узкополосных радиоимпульсов. Элементарный импульс пачки запишем в виде

где в отличие от (2.5.1) введен безразмерный множитель описывающий изменение амплитуды сигнала в лачке от импульса к импульсу. При помехе в виде стационарного нормального шума функционал отношения правдоподобия последовательности радиоимпульсов определяется согласно (2.7.3) выражением

где решение интегрального уравнения (2.2.7) для сигнала и функции корреляции помехи В силу узкополосности сигнала (2.7.6) функцию можно представить в виде, аналогичном (2.5.4).

Пренебрегая интегралами от членов, осциллирующих с удвоенной частотой, получаем

Здесь отношение сигнал/помеха для одного импульса с единичной амплитудой, определенное в (2.5.7);

Результирующее отношение сигнал/помеха для всей пачки равно

Положим вначале, что амплитуды всех импульсов в пачке априори известны. В зависимости от характера изменения начальных фаз радиоимпульсов рассмотрим два типовых случая приема последовательности импульсов — когерентный и некогереитный.

При когерентном приеме считают, что начальные фазы всех радиоимпульсов в пачке одинаковы (в более общем случае связаны детерминированной зависимостью, которая известна наблюдателю), т. е. а сама величина распределена равномерно на интервале Тогда формула (2.7.8) принимает вид

Выполняя усреднение по аналогично (2.5.10) получаем

где

Согласно (2.7.13) выходной сигнал оптимального приемника определяется выражением

Из последних двух соотношений видно, что оптимальный приемник должен осуществлять операцию суммирования квадратурных составляющих выходного сигнала для каждого периода повторения импульсов, а затем вырабатывать огибающую суммы.

При некогерентном приеме предполагается, что начальные фазы радиоимпульсов случайны, независимы и априори равномерно распределены на интервале В этом случае функционал отношения правдоподобия является произведением усредненных по функционалов отношения правдоподобия, получаемых при приеме отдельных реализаций Следовательно,

В качестве выходного сигнала оптимального приемника удобно использовать член логарифма функционала отношения правдоподобия, зависящий от принимаемых данных:

Из этого выражения следует, что при приеме некогерентной последовательности радиоимпульсов суммирование составляющих выходного сигнала, образованных в каждом периоде повторения, осуществляется

после нелинейного преобразования огибающей устройством с характеристикой (последетекторное суммирование огибающих).

Перейдем к случаю, когда не только начальные фазы но и амплитуды радиоимпульса (2.7.6) являются случайными величинами. Пачку радиоимпульсов, амплитуды и начальные фазы которых изменяются случайным образом от импульса к импульсу, называют флуктуирующей. При этом предполагается, что в течение времени приема одного импульса его амплитуда и начальная фаза остаются постоянными. Для определения функционала отношения правдоподобия параметра I флуктуирующей последовательности импульсов необходимо усреднить выражение (2.7.7) по несущественным параметрам и Достаточно просто это усреднение можно выполнить лишь в случае приема нормально флуктуирующей последовательности импульсов.

Перепишем выражение для элементарного радиоимпульса (2.7.6) флуктуирующей последовательности в виде

где

Если совместное распределение случайных величин является нормальным, последовательность радиоимпульсов типа (2.7.19) будем называть нормально флуктуирующей.

Итак, определим структуру оптимального приемника нормально флуктуирующей последовательности радиоимпульсов. Будем полагать, что неизвестный параметр I импульсов последовательности является неэнергетическим и, следовательно,

Относительно флуктуации амплитуд и фаз полезного сигнала будем считать, что случайные величины описывающие флуктуации, взаимно независимы и распределены по нормальным законам со статистическими характеристиками;

Величина характеризует среднюю мощность полезного сигнала; огибающая коэффициента корреляции флуктуацнй полезного сигнала, связанная с коэффициентом корреляции амплитуд соотношением [27].

С учетом введенных обозначений выражение для функционала отношения правдоподобия параметров можно представить как

где определены в (2.7.9) и (2.7.10). Выражение (2.7.26) показывает, что функционал отношения правдоподобия есть функция четырех -мерных нормальных векторов: с составляющими и с составляющими Функционал отношения правдоподобия перепишем в виде

где мерные нормальные плотности вероятности соответствующих векторов.

Для получения функционала отношения правдоподобия выражение надо усреднить по (или по Тогда

где многомерные нормальные плотности вероятности случайных векторов Средние значения составляющих этих двух -мерных векторов равны нулю, а функции корреляции их равны

Каждый из интегралов в (2.7.28) представляет собой плотность вероятности суммы двух независимых случайных векторов с нормальными плотностями вероятности. Действительно, если нормальный вектор с плотностью вероятности нормальный вектор с плотностью вероятности то плотность вероятности вектора есть первый интеграл в (2.7.28). В силу нормальности векторов и их сумма также нормальна, причем средние значения составляющих суммарного вектора равны нулю, а функция корреляции определяется выражением

где символ Кронекера. В результате для функционала отношения правдоподобия оцениваемого параметра имеем

где

Здесь элементы матрицы, обратной корреляционной матрице с элементами (2.7.29).

Таким образом, выходной сигнал оптимального приемника нормально флуктуирующей последовательности радиоимпульсов определяется

выражением

Последняя формула позволяет представить структурную схему оптимального приемника (рис. 2.7.1). Первой операцией является получение квадратурных составляющих Подобная операция часто называется внутрииериодной обработкой одиночного радиоимпульса. Для этого поступающая на вход приемного устройства смесь полезного сигнала и помехи интегрируется в течение каждого периода повторения в двух квадратурных каналах соответственно с весами

при всевозможных значениях параметра I из априорного интервала. Далее, на основе полученных функций осуществляется междупериодная обработка этих составляющих с весами

Рис. 2.7.1. Структурная схема оптимального приемника последовательности флуктуирующих импульсов,

При приеме нормально флуктуирующей последовательности радиоимпульсов выделяют два крайних случая — быстрые и медленные (или дружные) флуктуации. Под быстрыми флуктуацнями подразумевается случай, когда амплитуды и начальные фазы полезного сигнала от импульса к импульсу независимы. В случае медленных флуктуаций амплитуды и начальные фазы радиоимпульсов в пределах пачки можно считать постоянными. Рассмотрим изменение структуры в этих крайних случаях.

При быстрых флуктуациях флуктуации полезного сигнала не коррелнрованы от импульса к импульсу, т. е. В этом случае в соответствии с (2.7.29) и

где

среднее значение отношения сигнал/помеха при приеме одного радиоимпульса. Следовательно, согласно оптимальный приемник должен суммировать квадраты квадратурных составляющих выходного сигнала после внутрипериодной обработки, т. е. при быстрых флуктуациях

Если имеют место дружные флуктуации, то коэффициент корреляции флуктуаций от импульса к импульсу равен единице, при всех к и Вычисление весов в соответствии с (2.7.29) и (2.7.31) в этом случае оказывается достаточно громоздким. Получим выражение для функционала отношения правдоподобия путем непосредственного усреднения функционала отношения правдоподобия (2.7.26) по случайным величинам и Учитывая, что априори распределены по нормальным законам с нулевыми средними значениями и дисперсиями получаем

Отсюда выходной сигнал оптимального приемника можно представить как

т. е. оптимальный приемник имеет такую же структуру (с точностью до монотонного преобразования), как и при приеме когерентной последовательности радиоимпульсов с одинаковыми амплитудами. Из сопоставления (2.7.37) и (2.7.32) получаем значение весового множителя при приеме дружно флуктуирующей последовательности радиоимпульсов

В заключение отметим, что обобщение структуры оптимального приемника последовательности импульсов на случай нескольких неизвестных параметров очевидно.