Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 11.2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛАПри оптимальном приеме известного сигнала на фоне аддитивной нормальной помехи приемное устройство вырабатывает логарифм функционала отношения правдоподобия согласно выражению (3.1.1). Подставляя это значение в (11.1.3), получаем формулу, определяющую структуру дискриминатора в принятом приближении:
Рис. 11.2.1 Структурная схема дискриминатора. Структурная схема дискриминатора представлена на рис. 11.2.1. Согласно и приведенному рисунку дискриминатор состоит двух каналов. Первый канал формирует сигнал рассогласования (числитель), а второй канал (II) — переменный коэффициент усиления (знаменатель); генераторы, вырабатывающие сигналы, пропорциональные соответственно первой и второй производным от отношения снгнал/яомеха в точке Назначение остальных блоков ясно обозначений Естественно, оценка получаемая с помощью дискриминатора (11.2.1), отличается от истинного значения параметра на некоторую случайную величину со средним значением, равным смещению оценки, и с дисперсией, равной дисперсии оценки. Для исследования статистических характеристик оценки воспользуемся, как и ранее, методом малого параметра, в качестве которого выберем величину Вводя аналогично нормированные сигнальную и помеховую функции, преобразуем формулу (11.2.1) к виду
Свойства функций и достаточно подробно рассмотрены в § 2.4. и 3.1. Формула (11.2.2) дает явную зависимость оценки от реализации помехи или, что то же самое, от реализации помеховой функции Однако выполнение усреднения в формуле (11.2.2) затруднительно, так как входит в ее знаменатель. Поэтому, учитывая, что в условиях надежной оценки для упрощения вычисления статистических характеристик оценки разложим правую часть в ряд Маклорена по
где
Используя (11.2.3) и известные свойства функций нетрудно найти смещение и дисперсию оценки, вырабатываемой дискриминатором [121]:
Здесь
Приведенные формулы для смещення и дисперсии оценки имеют погрешность порядка Используя выражения с погрешностью порядка имеем
Рассмотрим связь полученной оценки (11.2.1) с эффективной оценкой, возможной в классе оценивающих устройств со смещением Подставляя в выражение для дисперсии эффективной смещенной оценки (1.3.22) из (11.2.4) и учитывая, что
можем записать
где
При выводе формулы (11.2.8) отбрасываются члены порядка малости и менее. Эффективность оценки (11 2.1), определяемая согласно равна
Если допустима погрешность порядка то
При неограниченном увеличении отношения сигнал/помеха полученных формул для эффективности оценки следует, что т. е. оценка, получаемая с помощью дискриминатора, асимптотически эффективна, хотя остается смещенной при любых отношениях сигнал/помеха Действительно, при имеем Если фиксированное значение параметра опорного сигнала совпадает с истинным значением параметра то, учитывая соотношения (3.1.41), и (3.1.11), получаем
Отсюда эффективность оценки (11.2.9) перепишется как
Однако если ограничиться рассмотрением первого приближения, т. е. определять эффективность оценки из (11.2.10), то при Следовательно, пренебрегая в выражении для оценки (11.2.3) членами порядка малости и менее, находим, что оценка (11.2.1) при совпадает с эффективной оценкой, возможной в классе оценивающих устройств со смещением (11.2.6). Полученные выше соотношения для структуры дискриминатора и характеристик оценкн упрощаются применительно к оценке неэнергетического параметра. При оценке неэнергетического параметра отношение сигнал/помеха постоянно для всех значений параметра, а функция является четной функцией разности своих аргументов. Следовательно, выражение, определяющее оценку (11.2.1), и формулы (11.24) и (11.2.5) для характеристик оценкн примут вид
где
В случае оценки неэнергетического параметра возможно дальнейшее упрощение структуры дискриминатора. Для этого рассмотрим отдельно числитель и знаменатель дроби в правой части (11.2.11). Используя нормированные сигнальную и помеховую функции, получаем
Когда отношение сигнал/помеха велико, приближенно можно положить
Пренебречь помеховой функцией в (11.2.14) аналогично нельзя, так как при С учетом сказанного выражение для оценки (11.2.11) перепишется как
В этом приближении оказывается достаточно формировать лишь первую производную логарифма функционала отношения правдоподобия, т. е. в структурной схеме рис. 11.2.1 сохраняется лишь один канал. Смещение и дисперсию оценки, получаемой с помощью упрощенного дискриминатора, находим, подставляя (11.2.14) в (11.2.17) и выполняя усреднение:
Итак, дисперсия оценки неэнергетического параметра, получаемая с помощью рассмотренного дискриминатора, совпадает с дисперсией несмещенной эффективной оценки (3.1.46).
|
1 |
Оглавление
|