11.2. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ИЗВЕСТНОГО СИГНАЛА

При оптимальном приеме известного сигнала на фоне аддитивной нормальной помехи приемное устройство вырабатывает логарифм функционала отношения правдоподобия согласно выражению (3.1.1). Подставляя это значение в (11.1.3), получаем формулу, определяющую структуру дискриминатора в принятом приближении:

Рис. 11.2.1 Структурная схема дискриминатора.

Структурная схема дискриминатора представлена на рис. 11.2.1. Согласно и приведенному рисунку дискриминатор состоит двух каналов. Первый канал формирует сигнал рассогласования (числитель), а второй канал (II) — переменный коэффициент усиления (знаменатель); генераторы, вырабатывающие сигналы, пропорциональные соответственно первой и второй производным от отношения снгнал/яомеха в точке

Назначение остальных блоков ясно обозначений

Естественно, оценка получаемая с помощью дискриминатора (11.2.1), отличается от истинного значения параметра на некоторую случайную величину со средним значением, равным смещению оценки, и с дисперсией, равной дисперсии оценки.

Для исследования статистических характеристик оценки воспользуемся, как и ранее, методом малого параметра, в качестве которого выберем величину Вводя аналогично нормированные сигнальную и помеховую функции, преобразуем формулу (11.2.1) к виду

Свойства функций и достаточно подробно рассмотрены в § 2.4. и 3.1.

Формула (11.2.2) дает явную зависимость оценки от реализации помехи или, что то же самое, от реализации помеховой функции Однако выполнение усреднения в формуле (11.2.2) затруднительно, так как входит в ее знаменатель. Поэтому, учитывая, что в условиях надежной оценки для упрощения вычисления статистических характеристик оценки разложим правую часть в ряд Маклорена по

где

Используя (11.2.3) и известные свойства функций нетрудно найти смещение и дисперсию оценки, вырабатываемой дискриминатором [121]:

Здесь

Приведенные формулы для смещення и дисперсии оценки имеют погрешность порядка

Используя выражения с погрешностью порядка имеем

Рассмотрим связь полученной оценки (11.2.1) с эффективной оценкой, возможной в классе оценивающих устройств со смещением Подставляя в выражение для дисперсии эффективной смещенной оценки (1.3.22) из (11.2.4) и учитывая, что

можем записать

где

При выводе формулы (11.2.8) отбрасываются члены порядка малости и менее. Эффективность оценки (11 2.1), определяемая согласно равна

Если допустима погрешность порядка то

При неограниченном увеличении отношения сигнал/помеха полученных формул для эффективности оценки следует, что т. е. оценка, получаемая с помощью дискриминатора, асимптотически эффективна, хотя остается смещенной при любых отношениях сигнал/помеха Действительно, при имеем

Если фиксированное значение параметра опорного сигнала совпадает с истинным значением параметра то, учитывая соотношения (3.1.41), и (3.1.11), получаем

Отсюда эффективность оценки (11.2.9) перепишется как

Однако если ограничиться рассмотрением первого приближения, т. е. определять эффективность оценки из (11.2.10), то при

Следовательно, пренебрегая в выражении для оценки (11.2.3) членами порядка малости и менее, находим, что оценка (11.2.1) при совпадает с эффективной оценкой, возможной в классе оценивающих устройств со смещением (11.2.6).

Полученные выше соотношения для структуры дискриминатора и характеристик оценкн упрощаются применительно к оценке неэнергетического параметра.

При оценке неэнергетического параметра отношение сигнал/помеха постоянно для всех значений параметра, а функция является четной функцией разности своих аргументов. Следовательно, выражение, определяющее оценку (11.2.1), и формулы (11.24) и (11.2.5) для характеристик оценкн примут вид

где

В случае оценки неэнергетического параметра возможно дальнейшее упрощение структуры дискриминатора. Для этого рассмотрим отдельно числитель и знаменатель дроби в правой части (11.2.11). Используя нормированные сигнальную и помеховую функции, получаем

Когда отношение сигнал/помеха велико, приближенно можно положить

Пренебречь помеховой функцией в (11.2.14) аналогично нельзя, так как при С учетом сказанного выражение для оценки (11.2.11) перепишется как

В этом приближении оказывается достаточно формировать лишь первую производную логарифма функционала отношения правдоподобия, т. е. в структурной схеме рис. 11.2.1 сохраняется лишь один канал.

Смещение и дисперсию оценки, получаемой с помощью упрощенного дискриминатора, находим, подставляя (11.2.14) в (11.2.17) и выполняя усреднение:

Итак, дисперсия оценки неэнергетического параметра, получаемая с помощью рассмотренного дискриминатора, совпадает с дисперсией несмещенной эффективной оценки (3.1.46).