3.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СОВМЕСТНЫХ ОЦЕНОК НЕСКОЛЬКИХ ПАРАМЕТРОВ

В случае совместной оценки неизвестных параметров сигнала на фоне нормальных помех в полученные выше выражения для выходного сигнала (3.1.1) или вместо одномерного параметра I надо подставить его многомерный аналог 1. При этом все

свойства сигнальной и помеховой составляющих остаются без изменения, а уравнение правдоподобия переходит в систему уравнений правдоподобия

Далее полагается отношение сигнал/помеха достаточно большим, а вероятность аномальных ошибок пренебрежимо малой. Учитывая, что в соответствии с (3.1.4) сигнальная составляющая и дисперсия помеховой составляющей нормированы, решение системы уравнений (3.3.1) будем искать методом малого параметра, в качестве которого, как и выше, используем величину Тогда

где

Разлагая левую часть уравнений (3.3.1) в -мерный ряд Тейлора в окрестности точки 10, ограничиваясь тремя членами приближения оценки и приравнивая коэффициенты при в одинаковых степенях нулю, находим системы уравнений для определения . Решения этих систем будут иметь вид

Здесь - определитель порядка с элементами алгебраические дополнения этого определителя, причем связаны соотношением

Случайная ошибка измерения параметра в соответствии с (3.3.2) равна

Смещение оценки параметра и функция корреляции между оценками параметров определяются из формул

Здесь усреднение выполняется по всевозможным реализациям входной помехи при фиксированном значении вектора истинных значений параметра 10. Отметим, что абсолютная погрешность последних формул имеет порядок малости

Подставляя (3.3.3) — (3.3.5) в (3.3.7) и (3.3.8), учитывая соотношения (3.1.35) и (3.1.35), выражая моменты производных от помеховой функции через производные от сигнальной функции и применяя правила дифференцирования, аналогичные после соответствующих преобразований получаем формулы для условных смещений и функций корреляции оценок в виде

Здесь определитель порядка с элементами алгебраические дополнения этого определителя. Используя последнее выражение, смещение оценки можно также записать в виде

Если ограничиться использованием лишь первого приближения, то совместные оценки в первом приближении несмещенные и имеют нормальное распределение с корреляционной матрицей

Аналогично оценке одного параметра можно показать, что корреляционная матрица совместных оценок максимального правдоподобия произвольных параметров сигнала на фоне нормальных помех в рассматриваемом приближении полностью совпадает с корреляционной матрицей несмещенных совместно-эффективных оценок. Таким образом, совместные оценки максимального правдоподобия будут асимптотически несмещенными (при ) и совместно-эффективными.

Конкретизируем выражения для функции корреляции и смещения применительно к оценке двух параметров сигнала Сигнальная функция в обозначениях имеет вид

т. е. в выражениях и (3.3.11) надо положить

Для вторых моментов оценки получаем

Здесь введены сокращенные обозначения для дисперсий функции корреляции оценок и сигнальной функции Вместо функции корреляции между оценками обычно используют коэффициент корреляции

Используя обозначения (3.3.13) — (3.3.15), выражения для смещения совместных оценок параметров согласно (3.3.11) можем записать в виде

Рассмотрим несколько частных случаев, представляющих интерес при совместной оценке двух параметров сигнала Если один параметр является энергетическим а другой — неэнергетическим т. е. если

то, очевидно, нечетные смешанные производные по в формулах будут равны нулю, а оценки параметров будут некоррелированными Оценка параметра будет несмещенной, смещение оценки параметра I будет таким же, как при оценке одного параметра а дисперсии оценок будут совпадать с дисперсиями раздельных оценок.

Если параметры неэнергетическне и сигнальная функция может быть записана в виде

то все нечетные смешанные производные по и (3.3.18) равны нулю и совместные оценки максимального правдоподобия неэнергетических параметров будут несмещенными. Так как четные смешанные производные (по или по и могут быть не равны нулю, то в общем случае совместные оценки двух неэнергетических параметров коррелированы. Однако если сигнальная функция может быть представлена как

то все частные производные нечетного порядка от сигнальной функции по равны нулю. Следовательно, оценки параметров в этом случае несмещенные и некоррелированные, а их дисперсии совпадают с дисперсиями раздельных оценок.