7.3. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА СИГНАЛА НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ПРИЕМНИКА С РАЗВЕРТКОЙ

Рассмотрим приемное устройство, позволяющее приближенно воспроизвести функционал отношения правдоподобия или его логарифм как непрерывную функцию оцениваемого параметра

Пусть на вход приемного устройства в течение интервала времени поступает аддитивная смесь сигнала и белого нормального шума с нулевым средним значением и спектральной плотностью о Неизвестный параметр подлежащий оценке, полагаем распределенным равномерно на интервале

Применительно к приему сигнала на фоне белого шума логарифм отношения правдоподобия в соответствии с (2.2.8) и (2.3.3) записывается как

Представим полезный сигнал на интервале в виде ряда по системе ортонормироваиных функций

где коэффициенты разложения находятся из соотношения

Задавшись достаточно большим числом членов разложения приближенно можно записать

Подставляя в (7 3 1) вместо сигнала его приближенное представление (7 3.4), получаем

где

Формула (7 3 5) позволяет приближенно воспроизвести выходной сигнал приемника как непрерывную функцию параметра I Для этого представим как функцию времени С этой целью необходимо осуществить линейною развертку но I за некоторое время для чего в структурной схеме устройства должен быть генератор развертки, вырабатывающий пилообразное напряжение вида

соответственно максимальное и минимальное значения априорною интервала изменения оцениваемого параметра I В этом случае уравнение (7.3.5) с точностью до постоянного множителя перепишется в виде

Таким образом, если оценка осуществляется по максимуму максиморуму функции то задача оценки параметра сводится к оценке некоторого значения при котором функция достигает наибольшего значения Оценка однозначно связана с оценкой соотношением

Структурная схема рассматриваемого устройства изображена та рис. 7.1, где нелинейные безынерционные преобразователи, характеристики которых определяются функциями генератор развертки, работающий в течение интервала времени и вырабатывающий напряжение согласно (7.3.7), решающее устройство, определяющее оценку соответствующую наибольшее максимуму линейный преобразователь оценки в оценку в соответствии с (7.3.9) Назначение других элементов ясно из рисунка Заметим, что корреляторы на рисунке, вырабатывающие величины можно заменить на фильтры, согласованные с сигналами На выходе приемника рис в течение интервала времени все производится функция прямо пропорциональная функции для всех значении I из априорного интервала

Применение рассматриваемого приемного устройства приводит к увеличению времени обработки сигнала по сравнению с оптимальным приемником на время развертки которое может быть сделано достаточно малым Действительно, величина ограничена снизу полосой частот, в которой преобразователи и перемпожители на рис остаются безынерционными, а также предельной скоростью, с которой решающее устройство может обрабатывать функцию

В дальнейшем приемное устройство, реализующее алгоритм (7.3.5), будем называть приемником с разверткой

Из структурной схемы рис. 7.3.1 и определения многоканальною приемника § 7.1 следует, что по сложности технической реализации приемник с разверткой сравним с многоканальпым приемником

Однако в многоканальном приемнике согласованные фильтры в каждом канале определяются видом полезного сигнала и при заданной форме сигнала не всегда могут быть реализованы достаточно просто. В то же время в приемнике с разверткой в ряде конкретных задач могут быть применена более простые по своей схеме фильтры, что обеспечивается соответствующим подбором системы ортонормироваиных функций

В общем случае использование приемника с разверткой вместо многоканального приемника является достаточно оправданным, ссли приемник с разверткой, обеспечивая более высокое качество оценки, не приводит к значительному усложнению технической реализации приемного устройства.

Рис. 7.3.1. Структурная схема приемника с разверткой

Выбор между приемником с разверткой и многоканальным приемником зависит от требований, предъявляемых к характеристикам оценки и степени простоты технической реализации.

Найдем характеристики оценки параметра известного сигнала при использовании приемника с разверткой, полагая, что оценка неизвестного параметра определяется по положению абсолютного максимума функции Подставим в (7.3.5) принимаемую реализацию смеси сигнал/помеха и введем обозначения:

Тогда выражение для выходного сигнала рассматриваемого приемника перепишется как

Полагая отношение сигнал/помеха для принятого сигнала достаточно большим, так что и имеют место только

нормальные ошибки, выражение для ошибки оценки параметра на основе решения уравнения правдоподобия в первом приближении можно записать в виде, аналогичном (4 1 14), где под надо понимать

Вычисляя первый и второй моменты от случайной ошибки оценки, поручаем, что оценка произвольного параметра в приемнике с разверткой в первом приближении условно несмещенная, а дисперсия оценки определяется выражением [112]

Исследуя зависимость дисперсии оценки от при различных можно установить минимальное количество членов разложения (7 3 4), которое необходимо учитывать, чтобы получить оценку с требуемой точностью

Найдем структуру приемника с разверткой для узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой (2 5 1) Для этого положим, что существуют разложения квадратурных составляющих полезного сигнала по системе ортонормироваиных функций

Здесь

Ограничиваясь первыми членами разложения квадратурных составляющих сигнала, (4 3 1) представим в виде

где

Формула (7.3.14) позволяет приближенно воспроизвести выходной сигнал приемника как непрерывную функцию времени при приеме узкополосного радиосигнала случайной равномерно распределенной начальной фазой и произвольном характере оцениваемого параметра Для определения статистических характеристик оценки подставим в (7.3.14) принятую реализацию смеси сигнала и помехи, а затем преобразуем к виду

Здесь

Положим отношение сигнал/помеха для принятого сигнала достаточно большим, так что и ошибки оценивания являются нормальными. Тогда, учитывая асимптотическое поведение при можем представить выходной сигнал в виде (7.3.12), а ошибку оценки — в виде (4.1.14), где следует положить

Так как то оценка параметра узкополосного радиосигнала в приемнике с разверткой несмещенная. Вычисляя второй момент от случайной ошибки оценки, получаем выражение для дисперсии оценки