6.4. ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПРИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПОТЕРЬ

При использовании прямоугольной функции потерь (1.4.4) байесовская оценка может быть найдена условия минимума функции (1.5 16). Еслн априорный интервал определения неизвестного параметра велик по сравнению с величиной и рассматриваются лишь значения 7, лежащие в окрестности абсолютного минимума функции (1.5.16), то байесовская оценка может быть найдена из уравнения (1.5.17), которое для равномерного априорного распределения принимает вид

Применительно к оценке параметра известного сигнала, используя (3.1.5) и (3.1.6), приходим к уравнению

Если положив то соответствующее значение байесовской оценки определяется из решения уравнения

причем при Полагая далее, отношение сиьнал/помеха для принятого сигнала велико а величина меньше длительности функции приближенное решение уравнения (6.4.2) при значениях лежащих вблизи абсолютного максимума будем искать в виде ряда по степеням

Для определения разложим функцию в фигурных скобках в (6.4.2) в ряд Тейлора по в окрестности точки Подставляя в это разложение из (6.4.4) и приравнивая нулю коэффициент при одинаковых степенях получаем уравнения для определения Первое приближение определяется величинами , причем находится из (6.4.3), а

Условные (при фиксированном смещение и дисперсия байесовской оценки соответственно равны

Здесь использованы ненормированные функции (2.4,4) и (2.4.5).

Когда согласно § 1.5 байесовская оценка при прямоугольной функции потерь переходит в оценку при простой функции потерь, а при равномерном априорном распределении — в оценку максимального правдоподобия. Действительно, осуществляя в и (6.4.7) предельный переход при получаем соответствующие характеристики оценки максимального правдоподобия (3.1.46).

Применительно к неэнергетическому параметру оценка несмещенная, а дисперрия оценки равна

При оценке параметра узкополосного радиосигнала со случайной равномерно распределенной начальной фазой и достаточно больших отношениях сигнал/помеха для логарифма функционала отношения правдоподобия узкополосного радиосигнала со случайной начальной фазой справедливо приближенное представление Подставляя из (4.3.4) в уравнение (6.4.1) и рассматривая левую часть этого уравнения как функцию разложим в ряд Маклорена по Учитывая лишь члены разложения, содержащие в степени не выше первой, приходим к уравнению где теперь функция определяется из (4.3.7), а из (4.3.8). Решение получаемого таким образом уравнения для байесовской оценки определяется в первом приближении первыми двумя членами разложения (6.4.4), где, как и ранее, находится из (6.4.3), a - из (6.4.5) при подстановке в эти выражения из (4.3.7) и из (4.3.8). В результате получаем, что смещение оценки параметра радиосигнала совпадает с (6.4.6), а дисперсия байесовской оценки равна

Здесь использованы функции (4.3.2), (4.2.9), (4.5.11).

Если положить так же как при оценке параметра известного сигнала, нетрудно показать, что полученная формула для дисперсии оценки переходит в (4.3.15).

При оценке неэнергетического параметра узкополосного радиосигнала формула для дисперсии оценки упрощается и принимает вид

Использование в задачах синтеза оптимальных приемных устройств прямоугольной функции потерь позволяет учесть конечное значение разрешающей способности реальных систем. При этом величина определяет разрешающую способность оценивающего устройства, а полученные соотношения дают возможность исследовать влияние разрешающей способности приемного устройства на качество оценки