Примеры. Форма «элемент материи».

35. После этих замечаний вернемся снова к абсолютным интегральным инвариантам.

В простейших случаях весьма полезно непосредственно убедиться в инвариантном характере диференциальных форм получаемых, как было указано выше, из форм путем замены выражениями

Для простоты рассмотрим систему двух диференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями

и будем исходить из линейного абсолютного интегрального инварианта

связанный с ним полный интегральный инвариант имеет вид

Возьмем в плоскости дугу кривой и проведем через все точки этой дуги соответствующие траектории; получим своего рода цилиндрическую поверхность, образующими которой (не прямолинейными!) служат траектории. Проведем на этой поверхности дуги кривых и соединяющие траекторию, выходящую из с траекторией, выходящей из (см. черт. 1). Мы хотим доказать, что

Дуги кривых и вместе с дугами траекторий и ограничивают на поверхности некоторую площадь; с другой стороны, интеграл взятый вдоль каждой из двух последних дуг, очевидно, равен нулю, потому что вдоль этих дуг имеем

Черт. 1.

Следовательно, интеграл взятый по замкнутому контуру равен

и все сводится к тому, чтобы доказать, что этот интеграл равняется нулю. По формуле Стокса этот интеграл приводится к двойному интегралу, распространенному по площади Докажем, что этот двойной интеграл имеет элементом интегрирования тождественный нуль. Для этого разложи площадь на элементы с помощью маленьких параллелограмов, образованных дугами траекторий и сечениями нашей поверхности плоскостями Пусть один из этих элементов поверхности. Элемент двойного интегрирования равен при этом

но в силу того, что точки соответствуют одному моменту времени, так же как и точки интеграл сводится к Но последние два интеграла, равны, в силу предположения, что является интегральным инвариантом.

Значит, элементом двойного интегрирования служит тождественный нуль; теорема, таким образом, доказана.

36. Аналогичное рассуждение можно провести и в случае двойного интегрального инварианта

Здесь переход от формы к форме несколько сложнее, чем в предыдущем случае. Мы осуществим его, сопоставляя элемент поверхности дхду с билинейной формой для этого достаточно представить себе некоторую систему криволинейных координат и рассматривать как элементарное перемещение, соответствующее приращению да первой координаты , а как элементарное перемещение, соответствующее приращению второй координаты Имеем при этом

Отсюда выводим:

или, возвращаясь к обозначениям, употребительным в теории интегралов, распространенных по поверхности,

Итак, рассмотрим поверхностный интеграл

и постараемся непосредственно отдать себе отчет в его инвариантности. Для этого представим себе некоторую площадь в плоскости и построим траектории, выходящие из всех точек этой площадки.

Мы получим, таким образом, неограниченное трехмерное образование ("трубку"), имеющее в качестве боковой поверхности своего рода цилиндрическую поверхность, образующими которой служат траектории, выходящие из контура, ограничивающего Пересечем трубку двумя произвольными поверхностями Цилиндрическая поверхность и поверхности будут ограничивать некоторый объем (см. черт. 2). Докажем, что

Черт. 2.

Поверхности вместе с цилиндрической поверхностью ограничивают объем с другой стороны, интеграл распространенный по цилиндрической поверхности, ограничивающей этот объем, равен, очевидно, нулю, потому что, обозначив элемент поверхности, — направляющие косинусы нормали, мы получим

а направление ( будучи направлением касательных к траекториям, образующим боковую поверхность, ортогонально направлению Отсюда следует, что разность может рассматриваться как поверхностный интеграл распространенный по замкнутой поверхности, ограничивающей объем Все сводится к доказательству того, что соответствующий объемный интеграл тождественно равен нулю. Но элемент этого объемного интеграла, очевидно, равен нулю. Чтобы убедиться в этом, достаточно в качестве элемента интегрирования взять объем, ограниченный с боков маленькими дугами траекторий, а сверху

и снизу плоскостями, параллельными плоскости при этом интеграл распространенный на каждое из оснований, сводится к интегралу а значение интеграла одно и то же для обоих оснований.

37. Кинематика сплошной среды дает нам хорошую иллюстрацию к рассуждениям, изложенным в этой главе.

В движущейся непрерывной среде траектория каждой частицы может рассматриваться как решение системы диференциальных уравнений

где предполагается, что компоненты скорости, выражены как функции переменных х, у, z, t. Далее, пусть будет плотность в момент времени в точке Масса, наполняющая в момент некоторый объем V, дается тройным интегралом

этот интеграл представляет собой, очевидно, абсолютный интегральный инвариант в смысле Пуанкаре: это как раз первый пример интегрального инварианта, данный Пуанкаре. Если частицы, заполняющие объем V в момент времени заполняют объем V в некоторый иной момент времени то, очевидно, будет иметь место равенство:

Чтобы вычислить форму связанную с формой представим, как и в предыдущем примере, в виде определителя:

отсюда следует

а отсюда, в свою очередь, легко получается

Эта форма представляет собою элемент материи, охарактеризованный наиболее полно с кинематической точки зрения. Если рассматривать некоторую трехмерную совокупность частиц, и если каждую частицу рассматривать в определенный момент ее движения, то в четырехмерном мире ( получится трехмерная область. Тройной интеграл от распространенный на эту область, будет равен общей массе совокупности рассматриваемых частиц. Если все частицы

рассматриваются в один и тот же момент времени они заполнят определенный (трехмерный) объем V и интеграл от обратится в интеграл

Рассмотрим, например, для определенности площадку в пространстве и совокупность всех частиц, пересекающих в течение промежутка времени между моментами Каждую из этих частиц рассматриваем в момент, когда она пересекает Мы получим, таким образом, трехмерную область четырехмерного мира. Состояния, соответствующие этой области, легко выражаются ноередством трех параметров для этого достаточно выразить координаты очки на поверхности в функции двух параметров и положить Таким путем получаются следующие формулы:

параметры принимают все значения, соответствующие различным точкам площадки , а принимает все значения в интервале Интеграл от распространенный по этой области, будет, очевидно, равен (с точностью до знака)

Поверхностный интеграл в прямых скобках представляет собою поток материи в момент через поверхность помноженный на он дает количество материи, проходящей через в промежуток времени Весь интеграл дает, таким образом, как и следовало ожидать, полную массу, прошедшую через за время от до

38. Аналогичные замечания можно сделать и по поводу двойного интегрального инварианта, с которым мы встречались в гидродинамике [гл. II, формула (8)]:

Мы видели что этот интеграл, распространенный на двумерную совокупность частиц, взятых в один и тот же момент времени представляет собою момент, или напряжение, вихревой трубки, составленной из вихревых линий, выходящих из этих частиц. Рассмотрим теперь совокупность частиц, пересекающих дугу кривой С в промежуток времени Вместо того, чтобы рассматривать эти частицы

в один и тот же момент возьмем каждую из них в момент, когда она пересекает дугу С. Момент вихревой трубки, в состав которой они входят, в любой момент времени равен интегралу