Интеграция вполне интегрируемой системы Пфаффа.

106. Возвратимся к вполне интегрируемой системе Пфаффа, которую запишем так:

Интегрирование этой системы сводится к интегрированию системы обыкновенных диференциальных уравнений с неизвестными функциями от одной независимой переменной

Действительно, мы знаем, что система имеет решение, соответствующее начальным значениям и притом единственное. Чтобы

получить значения искомых функций соответствующие данной системе числовых значений независимых переменных, — переместимся по интегральному многообразию от точки до точки и проследим за изменениями каковы бы ни были промежуточные значения независимых переменных, результат будет всегда один и тот же Положим, например,

обозначая через величины

Тогда получим:

Остается проинтегрировать эту систему обыкновенных диференциальных уравнений и определить то решение, которое при соответствует значениям неизвестных функций. Когда это решение найдено, мы получаем заменяя параметрические величины указанными выше их значениями.

Практически верхние индексы 1 не пишут. В полученном решении обыкновенной системы заменяют их значениями получают таким образом выражения для искомых функций

Следует заметить, что значение одного первого интеграла системы обыкновенных диференциальных уравнений (6) с параметрами не дает еще возможности определить первый интеграл пфаффовой системы (5).