Отсюда без труда можно вывести важные тождества
132. Чтобы дать прямое доказательство этих тождеств, заметим, что форма 
представляет собою линейную комбинацию 
линейно независимых форм, с помощью которых может быть выражена это следует из того, что
Отсюда непосредственно выводится тождество вида
а внешнее умножение на 
дает 
Значит, имеем
Тождество (8) п. 68, приложенное к трем линейным формам
дет
откуда, путем внешнего умножения на 
получаем
Теперь внешнее диференцирование тождества (1) дает
т. е. первое тождество, которое нам нужно было доказать:
Внешнее диференцирование тождества (2) даст
но, с другой стороны, внешнее умножение (1) на 
дает
из этой последней формулы получаем:
а затем из предшествующей выводим то соотношение, которое нужно было доказать:
133. Предположим теперь, что форма 
— второго типа. Пусть 
и 
-два первых интеграла характеристических уравнений формы 
как и выше, определим выражения 
формулами
Если 
—приведенная форма:
то
Без труда установим справедливость следующих формул:
вторая из них — не что иное, как тождество Якоби, потому что 
-первые интегралы характеристических уравнений формы 
.
Чтобы доказать непосредственно 
первое тождество, применим тождество (8) п. 68 к трем линейным формам 
соотношения
приводят к тождеству
которое, будучи продиференцировано внешним образом, дает
заменяя каждый член его значением и упрощая, получим тождество, которое мы хотели доказать.
первого типа. Пусть 
- какой-нибудь первый интеграл ее характеристической системы; форма 
инвариантная Форма максимального порядка 
Значит, можно положить
конечное выражение, линейное по отношению к частным производным первого порядка функции 
Это выражение 
либо равнопостоянной, либо является первым интегралом характеристической системы формы 
.
два первых интеграла характеристической системы формы 
. Определим с помощью сооткошения
Это выражение опять является либо постоянной, либо первым интегралом.
приведенная,
