Использование известных первых интегралов.

125. Возвратимся теперь к проблеме интегрирования характеристических уравнений диференциальной формы со, предполагая известными некоторое число первых интегралов Приравнивая эти интегралы произвольным постоянным мы понизим ранг формы со на некоторое четное число единиц. Тогда достаточно будет проинтегрировать характеристические уравнения этой новой формы или, точнее, определить их первых интегралов, находящихся в инволюции; мы придем к задаче п. 121.

При указанном методе, вообще говоря, не используются полностью известные первые интегралы. Действительно, в силу теоремы Пуассона-Якоби, скобки от этих интегралов, взятых попарно, являются, в свою очередь, первыми интегралами исходной системы. Значит, нужно образовать скобки далее, если среди этих скобок будут новые первые интегралы, нужно образовать скобки, сочетая эти интегралы между собой и с ранее известными; продолжаем этот процесс до тех пор, пока очередная операция не даст ничего нового. Это, в сущности, значит, что скобки всегда можно считать функциями первых интегралов нужные для этого вычисления требуют только диференцирований.

Теперь для того чтобы узнать, на сколько единиц понизится ранг со, если предположить, что переменные связаны соотношениями

достаточно приложить теорему п. 69 к внешней квадратичной форме со с переменными связанными соотношениями

Коэфициентами п. 69 будут здесь скобки и квадратичная форма будет иметь вид

число единиц, на которое понижается ранг , будет равно максимальному возможному числу уменьшенному на ранг формы

126. Мы можем следующим образом отдать себе отчет в том, что данные первые интегралы использованы полностью.

Выполним над переменными линейную подстановку (с коэфициентами — функциями от приводящую к нормальному виду

Это сводится к тому, что линейные формы заменяются новыми диференциальными формами

линейными относительно , с коэфициентами — функциями от формы эти должны быть таковы, чтобы осуществлялось тождество

Внешняя квадратичная форма примет при этом вид

здесь введены новых линейных форм

Обозначим через форму

и запишем, что внешняя производная от равна нулю. Если отбросить члены, которые содержат одну из линейных форм

то получится

Форма составлена только из функций и их диференциалов, значит, то же можно сказать и про форму ; поэтому в левой части равенства (2) невозможно никакое приведение подобных членов. Отсюда, в частности, следует, что каждая из форм

равна нулю (в предположении, что равны нулю формы следовательно, пфаффова система

вполне интегрируема. Обозначим через

систему первых интегралов этих уравнений. Далее, предполагая опять, что равны нулю, будем иметь

Значит, если считать постоянными, то форма становится полным диференциалом и, следовательно ее можно привести к виду

В результате, как легко усмотреть, форма со может быть представлена в виде

В сущности, этим выражается следующая теорема:

Можно найти функций

от данных первых интегралов, удовлетворяющих условиям:

все остальные скобки равны нулю.

127. Эта теорема интересна не только сама по себе; она еще показывает, что изложенный метод интегрирования полностью использует данные первые интегралы. Действительно, форма (3), найденная для , позволяет написать

Наиболее общая группа преобразований, сохраняющая исходные данные, т. е. оставляющая инвариантными определяется следующими уравнениями, в которых буквы со штрихами обозначают преобразованные переменные, произвольную функцию аргументов

Всякий однозначный процесс, позволяющий, исходя из первых интегралов получить новый первый интеграл посредством операций, имеющих смысл независимо от выбора переменных, необходимо приводит к первому интегралу, инвариантному по отношению к наиболее общей группе преобразований, сохраняющих Но единственными функциями, инвариантными по отношению к этой группе, будут, очевидно, произвольные функции от