Глава XI. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДНЕГО МНОЖИТЕЛЯ.

Определение и свойства.

109. Рассмотрим систему диференциальных уравнений

допускающую интегральный инвариант наивысшей возможной степени

Как мы уже видели условием того, чтобы было инвариантом, является равенство нулю внешней производной что дает, после легкого вычисления:

Коэфициент известен под именем множителя Якоби. Как мы знаем, условие (2) выражает собой, что форма может быть выражена с помощью независимых первых интегралов

системы (1) и их диференциалов; иными словами, это значит, что существует тождество

Мы можем теперь получить классические теоремы, относящиеся к множителю Якоби.

Теорема Частное двух множителей является первым интегралом. Действительно, два тождества вида (3), относящиеся к двум множителям, дают

Теорема II. Если известны независимых первых интегралов системы (1), то можно найти множитель системы диференциальных уравнений, к которой приводится интегрирование данной системы.

Предположим, что известны независимых первых интегралов предположим, кроме того (это всегда возможно), что эти первые интегралы являются независимыми функциями переменных т. е. что определитель

отличен от нуля.

Тогда уравнения (1) можно переписать так:

если теперь приравнять произвольным постоянным то интегрирование системы (1) сведется к интегрированию системы (5), причем предполагается, что в правых частях уравнений этой системы заменены их выражениями в функциях

После этого форму которая инвариантна относительно уравнений (4) и (5), можно будет, очевидно, записать так:

чтобы найти коэфициент достаточно отождествить это выражение с первоначальным; приравнивая, например, члены с получим

Определив таким образом величину получаем тождество;

Это тождество показывает что если принять во внимание линейные соотношения

то получим

Значит, левая часть этого равенства представляет собою инвариантную форму относительно системы диференциальных уравнений (5); иными словами, система (5) допускает множитель

Теорема III. Если известны независимых первых интегралов системы уравнений (1), то интегрирование заканчивается квадратурой.

Достаточно применить теорему в случае тогда увидим, что диферендиальная линейная форма

представляет собой полный диференциал, если предположить, что переменные связаны соотношениями

Общее решение системы (1) получим, приравнивая постоянной интеграл от полного диференциала

Обобщения.

110. Теорема о последнем множителе может быть распространена на значительно более общий случай, именно на случай, когда известна инвариантная форма любой степени Предположим, что известны независимых первых интегралов Составим всеми возможными способами группы по этих интегралов

и рассмотрим формы

степени которые очевидно будут инвариантными. Если они не все равны нулю, то приходим к уже изученному случаю: находим множитель, или даже несколько множителей, и в некоторых случаях теорема I может дать последний из первых интегралов путем деления этих множителей.

Исключительным случаем будет тот, когда все написанные выше формы равны нулю. Предположим, что выражена с помощью и диференциала первого интеграла (неизвестного) Наше предположение сводится, в сущности, к тому, что не содержит потому что, если бы в входил отличный от нуля член, например, такого вида:

то внешнее произведение на не было бы равно нулю.

Значит, представляет собой внешнюю форму относительно -форму, коэфициенты которой Могут быть вычислены.

Каждый из этих коэфициентов является первым интегралом. Если хотя бы один из этих коэфициентов не зависит от то приравнивая его произвольной постоянной, мы заканчиваем интегрирование. Единственным сомнительным случаем остается тот, когда все эти коэфициенты являются функциями от Ясно, однако, что в этом случае знание инвариантной формы ничем не может помочь завершению интегрирования. Заметим только, что в этом случае данные уравнения не образуют характеристической системы формы

Мы можем, следовательно, сформулировать следующую общую теорему:

Знание инвариантной диференциальной формы для которой данная система диференциальных уравнений (1) является

характеристической системой, позволяет, даже в самом неблагоприятном случае, закончить интегрирование этой системы квадратурой, если: известны уже ее независимых первых интегралов.

111. Другое обобщение теории последнего множителя Якоби относится к вполне интегрируемым пфаффовым системам. Пусть

вполне интегрируемая система, для которой известна инвариантная форма наивысшей возможной степени

Знание независимых первых интегралов системы позволяет закончить интегрирование квадратурой. Действительно, если приравнять произвольным постоянным, то данная система сведется к единственному уравнению, например к при этом получим форму вида:

коэфициент легко получается из если приравнять -два выражения для Отсюда следует, что является инвариантной формой для единственного уравнения которое еще осталось проинтегрировать. А это, в свою очередь, показывает, что является полным диференциалом. Значит и в этом случае интегрирование заканчивается квадратурой.

В заключение — вполне общая теорема, подводящая итог всем рассмотренным случаям:

Знание диференциальной формы позволяет, в самом неблагоприятном случае, закончить квадратурой интегрирование характеристической системы этой формы, если уже известны независимых первых интегралов обозначает класс формы).

Случай, когда выбор независимой переменной не предрешен.

112. Если система диференциальных уравнений дана в форме

то каждый интегральный инвариант степени имеет вид

и условие сводится к

Если не считать этой разницы в записи, вся теория, относящаяся; к рассматриваемому случаю, тождественна изложенной выше.

Случай, когда данные уравнения допускают бесконечно малое преобразование.

113. Возьмем общий случай вполне интегрируемой системы

допускающей инвариантную форму степени относительно которой всегда можно предположить, что она приведена к виду

Предположим, что эта система допускает известное бесконечно малое преобразование составим выражения

и предположим, что они не все равны нулю. Всегда можно предполагать уравнения системы преобразованными так, чтобы выполнялись соотношения

не изменила своего вида.

Как мы уже видели выше знание бесконечно малого преобразования позволяет получить из формы другую инвариантную форму которая при наших предположениях сводится к

Обозначим буквой эту новую инвариантную форму. Имеем

Системой ассоциированной (не характеристической) по отношению к будет

юна вполне интегрируема. Это вытекает из одной из доказанных теорем (п. 99); но это следует также из того, что, поскольку выражается с помощью первых интегралов данной системы и их диференциалов, постольку и ассоциированная с система будет содержать только и их диференциалы. Это будет, таким образом, система обыкновенных диференциальных уравнений, значит, — вполне интегрируемая.

Составим теперь внешнюю производную формы Это будет снова инвариантная форма степени значит, будем иметь

Коэфициент будет первым интегралом. Впрочем, здесь следует провести небольшое исследование.

1°. . В этом случае равно нулю, и система (9), ассоциированная с является ее характеристической системой. Значит,

известен множитель системы (9); следовательно, если известны независимых первых интегралов этой системы, то интегрирование закончится квадратурой. Вторая квадратура завершит интегрирование данной системы (7); этой квадратурой будет, очевидно,

Здесь, очевидно, могут быть приведены к виду

преобразование приложенное к первым интегралам данной системы, сводится к

Можно бесконечным числом способов выбирать первые интегралы, не меняя исходных данных, т. е. формы и преобразования можно выполнить над любую подстановку с функциональным определителем равным единице, можно прибавить к произвольную функцию от Это дает указания на те упрощения, которые Могут встретиться при интегрировании.

2°. есть константа, отличная от нуля. В этом случае предположим, что мы проинтегрировали систему (9), и пусть -система независимых интегралов. Получим

причем коэфициент будет независим от (иначе равнялось бы нулю); кроме того, он будет первым интегралом данной системы. Мы получаем таким образом интеграл данной системы простыми диференцированиями.

Нависав вместо получим

Наиболее общим преобразованием переменных сохраняющим исходные данные, является совершенно произвольное преобразование при условии, что

Этим объясняется, почему интегрирование системы (9) не может быть упрощено, а также и то, почему если это интегрирование выполнено, то с его помощью осуществляется и интегрирование данной системы (7).

3°. Коэфициент не является константой, но равно нулю. В этом случае функция является первым интегралом системы (9). Интегрирование этой системы сводится к интегрированию системы диференциальных уравнений с неизвестными функциями; интегрирование данной системы получается отсюда так же, как и в предыдущем случае.

Форма может быть сведена к виду

причем получим:

Преобразования, сохраняющие исходные данные, суть:

Они указывают на упрощения, возможные при интегрировании. 4°. Коэфициент не является константой и Возьмем сейчас же общий случай:

и предположим, что суть независимых первых интегралов данной системы, -функция от

В этом случае известны независимых первых интегралов системы и ее интегрирование сводится к интегрированию системы диференциальных уравнений с неизвестными функциями, множитель которой известен.

Найдем приведенные формы для Всегда можно положить

где первые интегралы системы (9), а функция от Очевидно, имеем

Запишем, что внешняя производная от равняется или, что то же

Имеем

значит, должно быть

Пусть частное решение этого уравнения в частных производных; последнее может быть записано так:

иными словами, является интегралом системы (9). Можно так выбрать чтобы сделать эту функцию равной единице. Тогда получим

Преобразованиями, сохраняющими исходные данные, будут, очевидно:

с функциональным определителем

Буквами обозначены независимые функции от удовлетворяющие условию Природа указанных преобразований указывает на возможные упрощения при интегрировании.

Может случиться, что тогда решение получается без всяких интегрирований, потому что одними диференцированиями можно найти независимых первых интегралов.

Приложения.

114. Теорию последнего множителя можно приложить ко всем указанным выше примерам, где встречалась инвариантная форма степени, равной числу неизвестных функций. Вспомним эти примеры.

1°. Уравнения движения частиц непрерывной среды, когда плотность и компоненты скорости даны как функции от

Интегральный инвариант имеет вид;

значит, множителем будет Следовательно, если известны два независимых первых интеграла, то интегрирование заканчивается квадратурой.

Если движение стационарно, то инвариантная форма

имеет производную, равную нулю. Уравнения

дающие геометрические траектории, допускают множитель значит, если известен один первый интеграл, то определение траекторий потребует одной квадратуры, а вторая квадратура даст

2°. Уравнения, дающие вихревые линии данного поля векторов представляют собою характеристические уравнения формы

значит, уравнения

допускают известный множитель, равный единице.

3°. Уравнения динамики в канонической форме

допускают множитель 1: в этом можно убедиться путем непосредственного вычисления; это следует также из того, что существование инвариантной формы

влечет за собою наличие инвариантной формы

115. Но теория последнего множителя прилагается не только к таким материальным системам, которые допускают канонические уравнения, но и к любой системе с совершенными голономными связями и с заданными силами, зависящими только от положения системы. В случае такой системы имеют место уравнения Лагранжа

Если бы величины были нулями, то введение канонических переменных Гамильтона привело бы к уравнениям

Отсюда следует, что уравнения движения при отличных от нуля могут быть приведены к виду

Они допускают множитель 1; значит, они допускают инвариантную форму

которая в лагранжевых переменных запишется так:

Если связи не зависят от времени, так же как и данные силы, то уравнения движения допускают бесконечно малое преобразование

и, следовательно, инвариантную форму производная которой равна нулю. Общая теория позволяет утверждать, что интегрирование уравнений движения сводится к интегрированию уравнений траекторий (геометрических)

к которым приложима теория последнего множителя, и к квадратуре, дающей время. Действительно, имеем, например,

потому что равна

116. В качестве примера сил, зависящих от времени, но допускающих известное бесконечно малое преобразование, рассмотрим простор случай точки, движущейся по фиксированной прямой под действием притяжения некоторой определенной точки этой прямой; при этом сила притяжения пропорциональна расстоянию между точками, а

коэфициент пропорциональности есть известная функция времени. Движение задается или диференциальным уравнением второго порядка

или системой

Уравнение второго порядка не изменится при замене X на произвольный ностоянный множитель); следовательно, система, эквивалентная этому уравнению, допускает бесконечно малое преобразование, переводящее

соответственно в

символом этого преобразования будет

Система (10) допускает инвариантную форму

соответствующую множителю 1. Производная форма имеет здесь вид

это — инвариантная форма. Ее внешняя производная равна

Коэфициент при в правой части постоянен; это значит, как мы знаем что достаточно проинтегрировать вполне интегрируемое уравнение чтобы получить из него диференцированиями общее решение данной системы; действительно, форма может быть приведена к виду Эту форму можно, заменяя на записать так:

Полагая

приходим к интегрированию уравнения Риккати (Riccati):

Предположим, что это уравнение проинтегрировано; имеем первый интеграл вида

Отождествляя со с ухйуъ находим, взйв, например, члены, содержащие

откуда

Если предположить (а это всегда возможно), что определитель равен 1 (или вообще постоянной), то общее решение системы дается уравнениями

откуда

Иными словами, функции входящие в общий интеграл уравнения Риккати, образуют систему фундаментальных решений данного уравнения второго порядка.

Можно изложить эти вещи иначе. Предположим, что известно общее решение и уравнения Риккати, выраженное через и постоянную интеграции Тождество

дает

откуда может быть выражен в функции Поскольку мы имеем

получаем

откуда

117. Замечание. Теория последнего множителя Якоби прилагается не только к указанным проблемам механики, но и к ряду других. Рассмотрим, например, движение материальной точки под действием силы, зависящей только от положения точки в пространстве, но при условии, что система референции равномерно вращается вокруг оси Уравнения движения будут иметь вид:

где данные функции от Записав эти уравнения в виде:

получим систему, допускающую, очевидно, множитель 1.

118. Последнее приложение, которое мы здесь рассмотрим, связано с интегральным инвариантом гидродинамики:

Характеристическая система этого инварианта состоит из двух уравнений Пфаффа:

Интегральными многообразиями в четырехмерном мире будут двумерные многообразия, образованные, например, различными последовательными положениями вихревой линии.

Интегрирование этой системы сводится к интегрированию системы из двух диференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями, множитель которой известен. Разыскание траекторий частиц требует, кроме того, интегрирования обыкновенного диференциального уравнения, которое может быть задано произвольно.

Если движение стационарно, то характеристические многообразия даются двумя квадратурами, а именно, во-первых,

затем, учитывая предыдущее равенство, разрешенное относительно