Построение интегральных инвариантов в связи с бесконечно малыми преобразованиями.

89. Предыдущее свойство показывает нам, что если известно бесконечно малое преобразование, допускаемое системой (2), то из каждой инвариантной диференциальной формы можно получить новую инвариантную форму, именно Если внешняя форма, то и будет внешней формой, притом той же степени, что

Существует другая операция, позволяющая из данной инвариантной внешней формы получить новую инвариантную форму. Положим, для определенности, что форма третьей степени, и рассмотрим соответствующую трилинейную диференциал! форму Заменим в этой форме неопределенный символ диференцирования 8 символом бесконечно малого преобразования; мы получим билинейную кососимметрическую форму с двумя рядами диференциалов которой, в свою очередь, соответствует внешняя квадратичная форма. Эту последнюю мы обозначим Эта новая форма получается, из первоначальной с помощью операции, смысл которой не зависит от выбора независимых переменных. Если выражена с помощью первых интегралов у уравнений (2) и их диференциалов, то и выражение выразится через и Следовательно, определенная сейчас операция позволяет из любой инвариантной формы вывести новую инвариантную форму, степень которой на единицу меньше.

В силу определения мы имеем следующее выражение для этой новой формы:

90. Обе введенные сейчас операции не являются независимыми друг от друга. Допустим, для определенности, что форма второй степени, и рассмотрим формулу, определяющую внешнюю производную Имеем

при единственном условии, что три символа переместигельны. Заменим символ 8 символом бесконечно малого преобразования Получим

т. е., переходя к внешним формам,

или, наконец,

Эта фундаментальная формула содержит в левой части результат первой операции, выполненной над формой Что касается двух членов правой части, то первый из них получается в результате действия на сначала операции внешнего диференцирования, затем второй операции, связанной с а второй член получается из в результате применения тех же операций, но в обратном порядке.

Окончательно, известное бесконечно малое преобразование до пускаемое уравнениями (2), дает существенно новую операцию, определенную формулой (4) и позволяющую из одной инвариантной формы получить другую форму тоже инвариантную.

Заметим, в частности, что если у — один из первых интегралов, то первый интеграл может быть получен в результате применения к у сперва диференцирования, что дает а затем операции (4), которая дает