Приложение к кинематике твердого тела.

97. Рассмотрим движение твердого тела, отнесенного к трем неподвижным взаимно ортогональным осям. Известно, что в каждый момент оно определяется системой векторов, а именно, результирующим вектором мгновенной угловой скорости и вектором поступательного движения — моментом относительно начала Предположим, что эти шесть величин являются данными функциями времени. Диференциальные уравнения движения любой точки твердого тела имеют при этом вид:

Эти уравнения допускают очевидный интегральный инвариант. Действительно, если взять в момент времени две бесконечно близкие точки

твердого тела, то расстояние между ними не будет меняться с течением времени. Значит, имеется диференциальная форма

инвариантная, если рассматривать только одновременные точки; она станет абсолютным инвариантом, если ее дополнить, заменив

соответственно через

Пусть будет

эта инвариантная форма; ей соответствует билинейная инвариантная форма

Это билинейная форма симметрическая, а не кососимметрическая; тем не менее рассуждения п. 89 сохраняют силу.

Допустим, что постоянны; в этом случае диференциальные уравнения движения допускают бесконечно малое преобразование

следовательно, из формы можно получить новую инвариантную форму

Тот же процесс может быть повторен и дает на этот раз первый интеграл

Этот первый интеграл очевиден с геометрической точки зрения. Движение твердого тела при наших условиях происходит по винтовой линии, а предыдущий интеграл равен квадрату скорости рассматриваемой точки, скорости, которая сохраняет при нашем движении постоянное значение.