Глава VI. ФОРМЫ С ВНЕШНИМ УМНОЖЕНИЕМ.

Ассоциированная система квадратичной формы.

54. Мы скажем всего несколько слов об обычных алгебраических формах квадратичных, кубичных и т. д.

Любая квадратичная форма

может быть, как известно, представлена в виде суммы квадратов; таких квадратов (независимых) имеется если дискриминант формы отличен от нуля. Определим наименьшее число переменных, с помощью которых (путем подходящей линейной подстановки) может быть, выражена форма. Для того чтобы найти эти переменные, достаточно рассмотреть систему линейных уравнений

Прежде всего ясно, что эта система не зависит от выбора переменных. Предположим, что она сводится к независимым уравнениям, которые всегда можно привести к виду

После этого можно утверждать, что форма может быть выражена с помощью переменных и не может быть выражена с помощью меньшего числа переменных.

Действительно, выразим с помощью других независимых форм Переменная например, не войдет в потому что, если бы она там была, то был бы член вида и уравнение содержало бы что противоречит предположению.

С другой стороны, предположим, что форма может быть выражена с помощью переменных система (2), которую мы получим, исходя из переменных будет, очевидно, содержать только переменные необходимо, стало быть, чтобы равнялось и система (2) сводится к системе

являются, следовательно, независимыми линейными комбинациями форм

Заключительная часть доказательства показывает — и это нам уже было известно, — что выражение с помощью наименьшего числа переменных возможно по существу лишь одним способом (с точностью до линейной подстановки относительно этой минимальной системы переменных).

Система (2) является ассоциированной системой по отношению к форме

Все сказанное распространяется на форму какой угодно степени. Если, например, F - кубичная форма, то ассоциированная система линейных уравнений получится путем приравнивания нулю вторых производных от

эта система даст ту минимальную систему переменных, с помощью которых может быть выражена