Внешнее диференцированне.

71. Ту же операцию внешнего диференцирования можно применить к внешней диференциальной форме любой степени. Пусть, например, дана квадратичная форма

рассмотрим соответствующую ей билинейную кососимметрическую форму

и введем три символа диференцирования которые будем полагать переместительными. Рассмотрим, наконец, выражение

которое, очевидно, инвариантно по отношению к выбору независимых переменных. Сделав вычисления, убедимся без труда, что оно сводится к кэсосимметрической (альтернированной) трилинейной форме

Этой трилинейной форме соответствует внешняя кубическая диференциальная форма

которую мы будем называть производной от

72. В рассматриваемом случае важно отдать себе отчет в той связи, которая существует между диференцированиек внешней квадратичной диференциальной формы и операцией перехода от двойного интеграла, распространенного по замкнутой поверхности, к тройному, распространенному по объему, ограниченному этой поверхностью.

Представим себе, что координаты являются функциями трех параметров и представим себе в -мерном пространстве элементарный параллелепипед, ребрами которого служат отрезки координатных линий, а вершины имеют криволинейные координаты:

Символы относятся, таким образом, к диференцированиям по трем параметрам соответственно.

Рассмотрим теперь поверхностный интеграл распространенный по поверхности этого параллелепипеда.

Интегралы, распространенные по трем граням, сходящимся в вершине А, равняются, соответственно (с точностью до знака),

чтобы эти интегралы были распространены все либо на внутреннюю,

либо на внешнюю поверхность, их надо взять либо равными написанным выражениям, либо равнопротивоположными им. Если мы возьмем и к равнопротивоположными, то для суммы интегралов, распространенных по шести граням, получим

Поверхностный интеграл преобразуется, таким образом, в объемный

В случае трех переменных, если положить

то получится

73. Эти рассуждения можно распространить на внешние формы любой степени. Любая внешняя форма допускает производную, степень которой на единицу выше степени исходной формы; вычисляется она исключительно легко, потому что каждый член исходной формы

порождает член производной формы

Отметим несколько полезных и легко выводимых формул. Если, коэфициент (конечная функция наших переменных), произвольная внешняя форма, то справедлива формула

Если две произвольные внешние диференциальные формы, то

причем знак соответствует четной степени формы а знак — нечетной. В частности, если степень четная, то формула для производной от степени аналогична обыкновенной формуле диференцирования:

74. Во всем предшествующем мы предполагали, что коэфициентами форм служат непрерывные функции, допускающие частные производные первого порядка. Встречаются, однако, случаи, когда коэфициенты

формы не имеют производных, и все же можно определить внешнюю производную форму Классический пример дает нам теория потенциала.

Рассмотрим материальный объем У, ограниченный поверхностью пусть -плотность материи в произвольной точке объема мы предположим, что функция непрерывна. "Потенциал этой массы представляет собой функцию, непрерывную во всем пространстве и всюду допускающую непрерывные производные первого порядка. Существует теорема, касающаяся этой функции (теорема Гаусса), которую можно выразить формулой:

причем двойной интеграл распространяется по любой замкнутой поверхности, а тройной — по объему, ограниченному этой поверхностью.

Отсюда следует, что если положить

то можно определить внешнюю производную от

Если функция допускает частные производные второго порядка, то это равенство будет следствием классической формулы Пуассона, потому что операция диференцирования, определенная выше, дает непосредственно

Но если функция не имеет частных производных второго порядка, — а в общем случае это так, если не делать дополнительных предположений относительно функции то и тогда оказывается возможным определить производную

Таким образом, возникает возможность определить внешнее диференцирование как операцию самостоятельную, не связанную с классическим диференцированием. При этом можно было бы доказать непосредственно формулу предыдущего пункта

где относительно предполагается лишь, что они имеют внешние производные.

75. Рассмотрим простейший случай линейной формы от двух переменных

допускающей внешнюю производную

Будем предполагать, что функции непрерывны; рассмотрим еще функцию допускающую непрерывные частные производные первого порядка. Формула

сводится здесь к

Доказательство справедливости этой формулы можно провести довольно просто. Пусть А — область интегрирования, -контур, ее ограничивающий. Разобьем А на весьма большое число частичных площадей, например, с помощью параллелей к осям. Возьмем в каждой из частичных областей по точке и обозначим через

значения функций в этих точках. Внутри и на границе частичной области можно положить

интеграл взятый по контуру этой частичной области, будет равен

плюс некоторая величина, меньшая где —верхняя граница чисел -постоянное число; -диаметр области; -длина ограничивающего ее контура. Эта добавочная величина может быть сделана сколь угодно малой, потому что 2 имеет порядок всей илощади А. Что касается суммы двух интегралов, написанной выше, то она равняется

отсюда легко выводится интересующая нас формула.

Это доказательство можно было бы легко распространить (при соответствующих предположениях) и на случай квадратичной формы

справедливость равенства

влечет за собой следующее:

Доказательство оказывается более сложным в случае двух линейных форм с тремя переменными

Предположим, что эти две формы имеют внешние производные и что справедливы поэтому равенства

формула (1) будет иметь в этом случае вид

Повидимому, она не может быть доказана методом, примененным в предыдущем случае, если не сделать некоторых дополнительных предположений; например, можно потребовать, чтобы функции удовлетворяли условию, аналогичному условию Липшица. Было бы интересно изучить этот вопрос и выяснить, вытекает ли в самом деле из диференцируемости сомножителей диференцируемость их внешнего произведения.

Что касается вопроса о том, при каких условиях внешняя диференциальная форма имеет производную, то он связан, по крайней мере для форм степени от переменных, с теорией аддитивных функций множеств Валле-Пуссена (С. de la Vall6e Poussin) Так, например, форма

диференцируема, если сумма интегралов распространенных по поверхностям, ограничивающим конечное число кубов, образованных плоскостями, параллельными координатным плоскостям, стремится к нулю,

когда сумма объемов этих кубов стремится к нулю. Функция входящая в выражение производной

естественно, в общем случае не будет непрерывной.

Во всем дальнейшем мы будем предполагать допустимость выполняемых нами операций.