Формулы, относящиеся к внешним квадратичным формам.

66. Возвратимся к случаю внешней квадратичной формы от переменных Может случиться, что переменные связаны между собою линейной зависимостью

Форма если в ней какую-нибудь из переменных, например, выразить в функции остальных, будет иметь некоторый ранг, соответствующий числу линейно независимых уравнений ее ассоциированной системы. Эта система состоит, очевидно, из следующих уравнений:

ее можно записать так:

Можно предположить — и это будет более общим случаем, — что переменные связаны несколькими линейными соотношениями.

Ассоциированная система будет при этом определяться формулами:

равенство нулю матрицы следует здесь понимать в том смысле, что должны равняться нулю все ее определители наивысшего возможного порядка.

Можно заметить, что ранг формы в предположении, что переменные связаны данными соотношениями, равняется удвоенному наибольшему показателю, при котором форма

не равняется нулю.

67. Предположим, в частности, что ранг формы равняется Если связать переменные одним соотношением, то, очевидно, ранг формы не превзойдет будучи четным числом, не превзойдет Впрочем, нетрудно убедиться, что он не может быть и меньше указанного числа.

Отсюда следует, что еслн связать переменные независимыми линейными соотношениями, то ранг уменьшится не более чем на единиц. Посмотрим, в каком случае будет иметь место максимально возможное понижение ранга. Если данные соотношения имеют вид

то необходимое и достаточное условие максимального понижения ранга есть выполнение равенства

Это условие можно заменить другими, более простыми. Действительно, заметим, что если взять два какие-нибудь из данных соотношений, то эти два соотношения, необходимо понизят ранг на 4 единицы; следовательно,

Докажем, что эти необходимые условия форме уравнений являются также и достаточными.

Для доказательства предположим, что эти условия выполнены и сделаем такую замену переменных, чтобы обратились в Тогда получим

а это показывает, что форма сопряженная с не содержит членов, в которые входило бы Но формой, сопряженной по отношению к форме является в этом легко убедиться, приведя к каноническому виду. Следовательно, каждый член фбрмы сопряженной с формой содержит по меньшей мере из переменных потому что каждый член содержит по крайней мере одну из этих переменных. Значит, каждый из членов формы содержит не более переменных Следовательно, форма, сопряженная с содержит по крайней мере одну из переменных . А это как раз показывает, что

что и требовалось доказать.

Легко выяснить значение этой теоремы. Действительно, так как формы имеют степень то условия их обращения в нуль сводятся к уравнениям. Условие же обращения в нуль формы степень которой равна выражается при помощи уравнений, при этом каждое из них будет содержать коэфиииенты всех данных соотношений Если, например,

то условием того, что, при наличии соотношений форма имеет ранг по первому способу будет

это дает

Напротив, если используем только что доказанную теорему, то искомые условия примут несравненно более простую форму:

68. Можно указать теорему, уточняющую предыдущую и позволяющую найти наиболее простым путем ранг формы, в которую обращается форма в предположении, что входящие в нее переменные связаны данными соотношениями. Определим билинейную кососимметрическую форму

равенством

внешняя квадратичная форма

будет (с точностью до числового множителя) сопряженной по отношению к форме Она является абсолютным ковариантом формы в том смысле, что если подвергнуть переменные любому линейному преобразованию, а переменные линейному преобразованию, не меняющему выражения и если в результате этих преобразований формы и перейдут, соответственно, в и то и для преобразованных форм сохранится в силе соотношение

Если, в частности, имела канонический вид

то и получится в канонической форме:

Отсюда легко получается общее тождество;

в котором внешняя форма степени соответствующая полилинейной альтернированной форме равняется Это тождество очевидно, если приведена к каноническому виду; значит, оно справедливо и в общем случае. Это сводится, по существу, к тому, что форма, сопряженная с равна точностью до скалярного множителя).

Положив, в частности, и взяв в тождестве (6) члены, содержащие получим

здесь коэфициенты определяются соотношениями

Отсюда можно вывести еще одно тождество, которое будет нам полезно в дальнейшем. Рассмотрим форму

степень ее равна если ее умножить внешним образом на одну из переменных например, на то легко видеть, что произведение, в силу (7), будет равно нулю. Следовательно, и сама форма тождественно равна нулю. Но могут быть заменены тремя любыми линейными формами; поэтому можно сформулировать следующую теорему:

Если рассматривать некоторое число линейных форм и если положить

то будет иметь место тождество.

69. Вернемся теперь к задаче, сформулированной выше, именно, к разысканию ранга формы, которая получается из если предположить, что входящие в нее переменные связаны независимыми линейными соотношениями:

Мы можем всегда предположить, что эти соотношении приведены к виду.

В дальнейшем нам можно будет воспользоваться любым линейным преобразованием над переменными и при единственном условии, что

первые переменных при этом могут лишь переходить друг в друга. Отсюда следует, что над переменными можно производить любые линейные преобразования, при условии, что эти преобразования лишь переводят друг в друга последних переменных Положим, наконец,

Если в опустить члены, содержащие то, очевидно, получится

Пусть будет рангом формы путем подходящего линейного преобразования над переменными можно будет привести форму к виду

следовательно, вычитая, если нужно, из линейные комбинации переменных на что мы имеем право, мы приведем форму к виду

Но тогда форма примет вид

Мы видим, что если учесть теперь соотношения

то ранг формы уменьшится на единиц.

Мы приходим, таким образом, к следующей теореме: Рассмотрим линейные независимые формы затем величины в числе - определенные равенствами

и, наконец, внешнюю квадратичную переменными

Если эта форма имеет ранг то ранг формы уменьшается на единиц, если предположить, что переменные в этой форме связаны соотношениями

Кроме того, если данных линейных форм подвергнуть линейному преобразованию, с помощью которого форма приводится к каноническому виду

то и форма приведется к каноническому виду

где через обозначены новые линейные формы, соответственным образом подобранные, независимые между собою и независимые по отношению к данным формам.

В частности, при получаем теорему, сформулированную и доказанную в п. 67.