Приложения к проблеме n тел.

94. Рассмотрим материальных точек, взаимно притягивающих друг друга с силами, пропорциональными их массам и обратно пропорциональными данной степени расстояния. При этом существует силовая функция

где данное число (в небесной механике равное единице), а расстояние между точками с массами

Уравнения движения системы допускают известное число очевидных бесконечно малых преобразований. Прежде всего, время не. входит явно в эти уравнения. Кроме того, из любого решения проблемы можно получить другое решение, перемещая всю систему в пространстве, а также сообщая, каждой из точек дополнительное прямолинейное равномерное движение (одинаковое для всех точек). Отсюда немедленно следует существование следующих бесконечно малых преобразований:

Преобразование соответствует параллельному переносу вдоль оси преобразование -повороту около преобразование -добавочному движению с постоянной скоростью параллельно оси

Можно, наконец, указать еще одно бесконечно малое преобразование, основанное на однородности изучаемых уравнений. Действительно, уравнения

не изменяются, если все переменные умножить на один и тот же постоянный множитель , при условии, что умножается на компоненты скорости умножаются при этом на Взяв получаем новое бесконечно малое преобразование

Заметим, что, в силу самого определения имеем

95. Вспомним основной интегральный инвариант второй степени:

Обозначим через линейную форму Существует одиннадцать инвариантных линейных форм Нетрудно видеть в силу формулы (5), что первые десять из них являются ными диференциалами, потому что со не меняется при любом из десяти первых бесконечно малых преобразований. Что касается то формула (5) дает

но имеет степень однородности (в смысле, установленном выше) равную значит имеем

будет полным диференциалом лишь при т. е. в случае притяжения, обратно пропорционального кубу расстояния.

Вычисление одиннадцати форм не представляет никаких трудностей и дает:

здесь введены обозначения:

Нетрудно проверить, что билинейный ковариант формы равняется Если то получаем еще один первый интеграл:

откуда, интегрируя еще раз, находим:

это — интеграл Якоба.

Первые интегралы выражают теорему о центре тяжести; первые интегралы дают закон площадей.

96. В предыдущем параграфе мы получили непосредственно лишь диференциалы первых интегралов Ни а не сами эти интегралы. Сами интегралы можно получить, если к каждой из инвариантных форм применить операцию, соответствующую бесконечно малому преобразованию Таким путем мы получим инвариантные функции, т. е. первые интегралы

которые запишем в виде таблицы (см. табл. .1); очевидно, эта таблица будет кососимметрична. Вычисления не представят никаких трудностей: величина находится на пересечении 1-й строки и столбца. Буквою обозначена сумма масс всех тел.

ТАБЛИЦА 1. (см. скан)

Заметим, что определитель, составленный из элементов этой таблицы, равен нулю, потому что он кососимметричен и нечетного порядка. Следовательно, существуют такие 11 коэфициентов, не все равные нулю, что выражение 2 обращается в нуль, если к нему применить операцию, соответствующую любому из преобразований Легко видеть, что равно нулю. Вычисление дает для выражение, которое определяется лишь с точностью до числового множителя, именно

где

В небесной механике выражение представляет собою логарифмический диференциал произведения Значит, эта величина инвариантна при всех преобразованиях Благодаря этому легко получить ее физическую интерпретацию, выбрав надлежащим образом координатные оси. Взяв в качестве начала координат центр тяжести, — что сделать можно, ротому что он движется прямолинейно и равномерно, — мы увидим, что функции обратятся в нуль. Инвариантное выражение будет тогда, с точностью до числового множителя, равняться произведению квадрата кинетического момента системы при ее движении

относительно ее центра тяжести на полную энергию системы при этом движении. Эта величина, очевидно, не зависит ни от выбора координатных осей, ни от выбора единиц измерения.