Глава III. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ.

Общее понятие интегрального инварианта.

26. В предыдущих главах показана важность понятия интегрального инварианта для механики. Теперь мы приступим к изучению этого понятия во всей его общности.

Рассмотрим какую-нибудь систему обыкновенных диференциальных уравнений первого порядка (известно, что любую систему можно свести к этому случаю). Мы ее запишем так:

Мы выделили независимое переменное и зависимые переменные но, как мы увидим, это не существенно. Попрежнему мы будем говорить, что обозначает время. Совокупность значений соответствующую некоторому решению, будем попрежнему называть траекторией и будем рассматривать ее как кривую в пространстве измерений

Пуанкаре называет интегральным инвариантом интеграл (простой или кратный), распространенный на некоторое множество точек, соответствующих одному и тому же значению независимой переменной "одновременные" точки), который не меняет своего значения, если точки этого множества перемещаются вдоль соответствующих траекторий до некоторого другого значения независимой переменной. Интегральный инвариант называется абсолютным, если свойство инвариантности имеет место, какова бы ни была область интегрирования; он называется относительным, если свойство инвариантности имеет место только для замкнутых областей интегрирования. Линейный интегральный инвариант механики

является относительным интегральным инвариантом; примером абсолютного интегрального инварианта может служить двойной интеграл

Простейшими видами интегральных инвариантов являются следующие:

27. Подинтегральное выражение интегрального инварианта представляет собой диференциальную форму, в которую входят зависимые и независимая переменные и их диференциалы (или даже несколько рядов диференциалов). Эта форма может рассматриваться сама по себе. Она обладает следующим свойством: ее значение, вычисленное для некоторой точки и одной или нескольких бесконечно близких точек, соответствующих тому же значению независимого переменного (одновременных), не. меняется, если перемещать эти точки вдоль соответствующих траекторий, однако, так, чтобы они оставались одновременными. Ясно, что с этой точки зрения можно рассматривать формы более общего вида, нежели те, которые могут встретиться под знаком интеграла, например, любые рациональные (однородные) функции, от

Как показывает примеры, изученные в первых двух главах, интересно рассматривать не только одновременные состояния. Мы увидим, что любой элементарный интегральный инвариант в смысле Пуанкаре может рассматриваться, как результат вычеркивания из элементарного интегрального инварианта более общего вида всех членов, содержащих диференциал (или диференциалы) независимой переменной

Но чтобы получить этот существенный результат, который послужит ключом почти ко всем свойствам интегральных инвариантов, необходимо сначала вспомнить классические свойства первых интегралов системы диференциальных уравнений.