Первые интегралы.
28. Как известно, первым интегралом системы (1) называют функцию и 
обладающую следующим свойством: если заменить в ней 
их выражениями через 
соответствующими любой траектории, то функция и 
полученная таким образом, обращается в постоянную. Эти первые интегралы являются решениями линейного диференциального уравнения в частных производных первого порядка:
Представим себе, что уравнения (1) проинтегрированы и зависимые переменные 
выражены как функции времени 
и начальных значений 
при 
именно, пусть
если эти уравнения разрешить относительно 
то последние 
величин выразятся в виде функций от 
которые и будут, очевидно, первыми интегралами. Таким путем получается система 
первых интегралов, очевидно, независимых, т. е. таких, которые не связаны никаким соотношением, тождественным относительно 
Ясно, что любая функция первых интегралов 
является сама первым интегралом. И обратно, если 
— некоторый первый интеграл, то его численное значение для любой траектории равно, в силу основного свойства первых интегралов, значению 
Полный диференциал любой функции и от 
может быть, очевидно, представлен в форме
Для того чтобы и было первым интегралом, необходимо и достаточно, чтобы коэфициент 
тождественно равнялся нулю; это легко доказать непосредственно; в этом можно также убедиться, заметив, что 
представляет собой не что иное, как левую часть уравнения (2).
Следовательно, диференциал любого первого интеграла представляет собой линейную комбинацию 
линейных диференциальных форм
и обратно, каждая из этих форм является линейной комбинацией диференциалов данных 
независимых первых интегралов.
