Принцип наименьшего действия Мопертюи (Maupertuis).

188. Предположим, что функция Гамильтона не зависит от времени. Рассмотрим совокупность движений, которым соответствует данное постоянное значение функции Соответствующими траекториями будут характеристики линейного интегрального инварианта где

или, что в сущности то интегрального инварианта где

отличается от только на полный диференциал. Эта форма содержит переменных, связанных соотношением

и только из ее коэфициентов отличны от нуля. Характеристические уравнения имеют здесь вид

Следовательно, в -мерном пространстве траекториями являются экстремали интеграла

причем можно рассматривать либо все кривые, у которых даны начальные и конечные значения либо только те из указанных кривых, которые удовлетворяют уравнениям

и, конечно, условию

189. Станем, например, на вторую точку зрения. Пусть будут параметрами, определяющими положение системы, компонентами количества движения. Обозначим через кинетическую энергию и выделим в ней члены нулевого, первого и второго измерения относительно тогда получим

Заменим переменные переменными . В силу сделанных предположений имеем

Наконец, предположим, что

Подинтегральное выражение интеграла будет иметь вид

Если теперь положим

то придем к следующей теореме, составляющей содержание принципа наименьшего действия в смысле Мопертюи:

Траектории суть экстремали интеграла

по отношению ко всем бесконечно близким траекториям, соответствующим тому же начальному и тому же конечному положению системы и удовлетворяющим теореме живых сил при заданном значении константы,

Положив получим классическую формулировку принципа Мопертюи.

190. Пример. В случае свободной материальной точки, отнесенной к неподвижным осям, траекториями будут экстремали интеграла

Если точка отнесена к осям, вращающимся вокруг оси с постоянной угловой скоростью а, и если, кроме того, силовое поле, не зависящее от времени, вращается вместе с осями, то будем иметь

В случае точки, масса которой равна 1, траекториями будут экстремали интеграла