Интегральные инварианты

Картан Э. Интегральные инварианты. Перевод с французского Г. Н. Бермана под редакцией проф. В. В. Степанова. Москва - Ленинград: Изд. технико-теоретической литературы, 1940. - 216 с.

Выходящая в русском переводе книга Картана в первую очередь излагает теорию интегральных инвариантов. Это понятие, введенное Пуанкаре в связи с его механическими исследованиями, получает в изложении Картана значительное упрощение в связи с введением диференциала независимого переменного; совокупность всех интегральных инвариантов оказывается легко обозримой. Далее в настоящей книге 'эта теория применяется к ряду проблем анализа и механики. Механические приложения требуют от читателя общей ориентировки в аналитической механике и в механике непрерывной среды. Более элементарное изложение теории интегральных инвариантов по Пуанкаре и бесконечно малых преобразований в применении к механике читатель может найти в книге Уиттекера „Аналитическая динамика", ОНТИ, М. —Л. 1937; эта книга является естественным введением к механическим приложениям, рассматриваемым у Картана.

Книга Картана богата математическими идеями и сильно расширяет кругозор внимательного читателя.

ВВЕДЕНИЕ.
Глава I. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ ГАМИЛЬТОНА И ТЕНЗОР “КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ – ЭНЕРГИИ”.
Преобразование канонических уравнений. Теорема Якоби.
Глава II. ДВУМЕРНЫЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ ДИНАМИКИ.
Построение двумерного интегрального инварианта динамики.
Приложения к теории вихрей.
Глава III. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ.
Общее понятие интегрального инварианта.
Первые интегралы.
Абсолютные интегральные инварианты и инвариантные диференциальные формы.
Относительные интегральные инварианты. Функция Гамильтона.
Примеры. Форма «элемент материи».
Глава IV. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ.
Характеристическая система диференциальной формы.
ГЛАВА V. ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ ПФАФФА И ИХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ.
Понятие инвариантной системы Пфаффа.
Характеристическая система системы Пфаффа.
Ранг алгебраической формы и ассоциированная с ней система.
Глава VI. ФОРМЫ С ВНЕШНИМ УМНОЖЕНИЕМ.
Ассоциированная система квадратичной формы.
Билинейные кососимметрические и внешние квадратичные формы.
Внешние формы степени выше второй.
Ассоциированная система внешней формы.
Формулы, относящиеся к внешним квадратичным формам.
Глава VII. ВНЕШНИЕ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ИХ ПРОИЗВОДНЫЕ ФОРМЫ.
Билинейный ковариант пфаффовой формы.
Внешнее диференцированне.
Внешние формы и полные диференциалы.
Глава VIII. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВНЕШНЕЙ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ. ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ.
Характеристическая система внешней диференциальной формы.
Построение интегральных инвариантов.
Глава IX. СИСТЕМЫ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.
Построение интегральных инвариантов в связи с бесконечно малыми преобразованиями.
Примеры.
Приложения к проблеме n тел.
Приложение к кинематике твердого тела.
Диференциальные уравнения, допускающие бесконечно малое преобразование.
Условия, при которых данная система диференциальных уравнений допускает данное бесконечно малое преобразование.
Уравнения в вариациях.
Глава X. ВПОЛНЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ ПФАФФА.
Теорема Фробениуса (Frobenius).
Построение характеристической системы для системы Пфаффа.
Интеграция вполне интегрируемой системы Пфаффа.
Полные системы.
Глава XI. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДНЕГО МНОЖИТЕЛЯ.
Глава XII. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ЛИНЕЙНЫЙ ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ.
Скобки Пуассона и тождество Якоби.
Использование известных первых интегралов.
Обобщение теоремы Пуассоиа-Якоби.
Глава XIII. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ЛИНЕЙНЫЙ АБСОЛЮТНЫЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ.
Обобщение формул Пуассона-Якоби.
Использование известных первых интегралов.
Глава XIV. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ИНВАРИАНТНОЕ УРАВНЕНИЕ ПФАФФА.
Использование известных интегралов.
Приложение к уравнениям в частных производных первого порядка.
Метод Коши.
Метод Лагранжа.
Уравнения в частных производных первого порядка, допускающие бесконечно малое преобразование.
Первый метод Якоби.
Приведение некоторых диференциальных уравнений к уравнению в частных производных первого порядка.
Замечания о характере важнейших приложений метода Якоби.
Глава XV. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ НЕСКОЛЬКО ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ.
Глава XVI. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ДАННЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
Случай, когда число бесконечно малых преобразований равно числу неизвестных функций.
Глава XVII. ПРИМЕНЕНИЕ ИЗЛОЖЕННЫХ ТЕОРИЙ К ПРОБЛЕМЕ n ТЕЛ.
Уравнения движения, отнесенные к подвижной системе референции.
Случай, когда постоянные площадей все равны нулю.
Случай, когда постоянная живых сил равна нулю.
Глава XVIII. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Экстремали, связанные с относительным интегральным инвариантом.
Принцип наименьшего действия Мопертюи (Maupertuis).
Обобщения.
Приложение к распространению света в изотропной среде.
Глава XIX. ПРИНЦИП ФЕРМА И ИНВАРИАНТНОЕ ПФАФФОВО УРАВНЕНИЕ ОПТИКИ.
Инвариантное пфаффово уравнение оптики.
Принцип Ферма в форме, не зависящей от выбора системы референции в пространстве — времени.

Интегральные инварианты

Оглавление