Принцип Ферма в форме, не зависящей от выбора системы референции в пространстве — времени.

201. Важно отметить, что инвариантное пфаффово уравнение оптики связано с уравнением Монжа, определяющим закон распространения света так, что эта связь не зависит от выбора системы референции в пространстве и времени. Иными словами, уравнение

ковариантно с уравнением

относительно любого преобразования переменных . В сущности, это вытекает из самого принципа Ферма; но можио получить это уравнение и другим путем, не выделяя ни одного из переменных

Рассмотрим систему Пфаффа

в которой относительно переменных предполагается, что они связаны соотношением (2), и найдем производную систему системы (7). Так называют систему пфаффовых уравнений, являющихся Иными комбинациями уравнений системы (7) и обладающих тем свойством, что внешние производные их левых частей обращаются в нуль в силу уравнений (7). Если, как и выше, положить

то любую линейную комбинацию уравнений (7) можно представить в виде

Если принять во внимание уравнения (7), то внешняя производная левой части последнего уравнения сведется к

условием равенства нулю этого выражения, при учете уравнений (7) и продиференцированного уравнения (2), будет

или, проще,

Это дает

Производной системой по отношению к системе (7) является, таким образом, одно уравнение Пфаффа

характеристиками которого служат световые лучи.

Отсюда следует, что и воптике временная координата не играет существенно особой роли по сравнению с пространственными координатами. Основные заноны оптики не связаны существенно с классическими представлениями о пространстве и времени и переносятся без изменения в теорию относительности.

202. Если, например, в мире (пространство — время) выбрать подходящую систему референции, то закон распространения света в поле тяготения, вызванном одной массой (сведенной в точку), будет выражаться уравнением Шварцшильда (Schwarzschild):

Это уравнение допускает бесконечно малое преобразование значит, световые лучи, рассматриваемы, только с точки зрения пространства, определяются как кривые, вдоль которых цмеет место экстремум интеграла

Распространение света происходит в плоскости, проходящей через центр притяжения, и, если предположить, что эта плоскость определена уравнением происходит так, что осуществляется экстремум интеграла

Используя существование бесконечно малого преобразования легко заканчиваем интегрирование и получаем

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ

(см. скан)

(см. скан)