Глава IX. СИСТЕМЫ ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.

Понятие бесконечно малого преобразования.

86. Преобразование с переменными определяется системой уравнений

разрешимых относительно Геометрически, если рассматривать как координаты точки в -мерном пространстве, то преобразование (1) будет переводить каждую точку пространства в некоторую иную точку . В геометрии постоянно приходится иметь дело с различными преобразованиями (гомотетия, подобие, инверсия, или, еще проще, вращение, перенос и т. д.).

Преобразование (1) называется тождественным, еслй правые части равны, соответственно, Каждая точка преобразуется тогда сама в себя.

Если дана система диференциальных уравнений

то говорят, что она допускает преобразование (1), если это преобразование переводит все точки любой интегральной кривой системы (2) в точки, расположенные снова на некоторой интегральной кривой.

Рассмотрим преобразование, зависящее от одного параметра а и обращающееся в тождественное преобразование при некотором значении параметра Положим и представим себе, что правые части (1) расположены по степеням

Мы придем к тому, что называют бесконечно малым преобразовав нием, если ограничимся рассмотрением только членов первого порядка относительно Значит, бесконечно малое преобразование вполне определяется функциями от мы получим то же самое бесконечно малое преобразование, если помножим все эти функции на один и тот же постоянный множитель. Будем говорить, что функция представляет собою приращение переменной под действием бесконечно малого преобразования (на самом деле приращение равно но коэфициент не играет существенной роли).

Пусть дана функция приращение, которое она получает под действием бесконечно малого преобразования, равно первому члену разложения

значит, оно равно, с точностью до множителя

будем обозначать это выражение символом

Условимся говорить, что есть символ рассматриваемого бесконечно малого преобразования.

87. Формула (3) аналогична формуле, дающей выражение полного диференциала функции

Вся разница в том, что представляет собой символ неопределенной операции, тогда как А обозначает операцию вполне определенную. Символ диференцирования становится символом бесконечно малого преобразования, как только получают определенные значения (становятся данными функциями переменных).

Операцию, обозначенную символом А, можно применять не только к конечным функциям, но и к диференциальным формам. Будем понимать под главную часть приращения (деленную на ). Имеем

следовательно, нужно положить

Мы видим, что операцию А следует считать переместительной с операцией диференцирования.

88. Вернемся к системе диференциальных уравнений (2). Скажем, что эта система допускает бесконечно малое преобразование (3), если, применяя это преобразование к различным точкам любой интегральной кривой, мы получим точки, расположенные, с точностью до бесконечно малых второго порядка, снова на некоторой интегральной кривой

Ясно, что если уравнения (2) допускают преобразование, зависящее от параметра а, при любом значении параметра, то они будут допускать бесконечно малое преобразование и при значениях а, бесконечно близких к значению (если таковое существует) — значению, которому соответствует тождественное преобразование.

Если у — первый интеграл системы (2), и если эта система допускает бесконечно малое преобразование то ясно, что и будет первым интегралом. Действительно, в каждой точке некоторой интегральной кривой имеет одно и то же числовое значение с в точке в которую переходит точка функция у возрастает на это приращение должно быть одним и тем же, какова бы ни была точка кривой (С); следовательно, должно иметь одно и

то же числовое значение во всех точках кривой (С); а это и значит, что представляет собой первый интеграл.

Обратно, если под действием операции А любой первый интеграл переходит снова в первый интеграл, то система (2) допускает бесконечно малое преобразование Действительно, если

суть постоянные значения, которые принимают независимых первых интегралов

в точках интегральной кривой то значения этих интегралов в преобразованных точках будут равны значениям функций

в исходных точках т. е. будут постоянными — в силу того, что мы опять получаем, согласно предположению, первые интегралы. Следовательно, точки расположатся на интегральной кривой.