Скобки Пуассона и тождество Якоби.
123. Пусть 
будет рангом внешней производной 
и пусть 
два первых интеграла ее характеристической системы. Две диференциальные формы 
будут инвариантами наивысшей возможной степени 
значит, они отличаются только множителем, и этот множитель является первым интегралом. Положим
или
Определенное таким образом выражение 
носит наименование скобки Пуассона; это билинейная кососимметрическая форма от частных производных функций 
Скобка от двух первых интегралов сама является первым интегралом.
Эта теорема была установлена Пуассоном для случая канонических уравнений; в общем случае ее значение показал Якоби.
Прежде чем перейти к приложениям этой теоремы, сделаем несколько замечаний.
Условие 
выражает, что ранг 
равен 
в этом случае говорят, что интегралы 
находятся в инволюции.
Если это условие не выполнено, то формула, определяющая 
показывает, что форма
имеет ранг 
действительно, 
степень этой формы равна нулю:
Заметим еще, что если привести 
к нормальному виду
и если положить
то получим
Заметим, наконец, на основании результатов п. 119, что всегда можно предполагать 
полными диференциалами. Простое вычисление приведет к следующему тождеству, полученному впервые Якоби
которое прилагается к любым трем первым интегралам 
Впрочем, справедливость его может быть установлена без каких бы то ни было предположений относительно форм 
Она основывается на тождестве
которое не отличается от тождества (8), доказанного в п. 68.
Диференцируя его внешним образом и замечая, что внешняя производная правой части равна нулю, получим
а это и есть тождество Якоби.
124. Способ интегрирования, указанный в начале главы, может быть изложен короче, если использовать скобки Пауссона. Пусть
— уравнение, выражающее, что 
-первый интеграл. Ищем сначала частное решение 
этого уравнения; затем ищем частное решение 
системы
затем частное решение 
системы
и т. д. до частного решения 
системы
В случае канонических уравнений динамики
соответствующих инвариантной форме
уравнение в частных производных, дающее первые интегвалы данной системы, имеет вид
Что касается скобки Пуассона 
двух первых интегралов, то она определяется равенством
приравняв в обеих частях равенства члены, содержащие
получим
Распространяя теперь понятие скобки 
на какие угодно две функции переменных 
мы сможем записать уравнение в частных производных, определяющее первые интегралы, так:
