Инвариантное пфаффово уравнение оптики.

198. Рассмотрим теперь семейство световых лучей, зависящее от параметра а, причем на каждом луче возьмем отрезок, соответствующий промежутку времени начальной точке и конечной точке будем предполагать, что тоже зависят от а. Обозначив для каждого луча через вспомогательную функцию, которая входит в уравнения (4), и применяя формулу (3), получим:

Отсюда следует, что система диференциальных уравнений световых лучей, рассматриваемая как система диференциальных уравнений первого порядка между величинами связанными соотношением (2), допускает инвариантное уравнение Пфаффа

Это пфаффово уравнение, зависящее только от взаимных отношений величин х, содержит, в сущности, лишь шесть переменных; характеристической системой его будет система обыкновенных диференциальных уравнений, которые должны совпадать с уравнениями световых лучей.

Мы приходим, таким образом, к заключению: световые лучи являются характеристиками уравнения Пфаффа:

это — инвариантное пфаффово уравнение оптики.

199. Практически уравнение Монжа (1) записывается так:

Полагая

составим инвариантное уравнение Пфаффа. Имеем

следовательно, уравнение (5) можно переписать так:

Левая часть уравнения однородна относительно поэтому эти аргументы можно заменить соответственно через . Пфаффово инвариантное уравнение принимает при этом вид

Возьмем, например, среду, в которой волновая поверхность представляет собой сферу; пусть -скорость распространения света в среде, с — скорость света в пустоте, показатель преломления среды (функция х, Уравнение Монжа имеет в этом случае вид:

а инвариантное уравнение Пфаффа есть

Если положить

то оно принимает вид

здесь — направляющие косинусы касательной к световому лучу. Если не зависит от времени, то уравнения распространения света допускают бесконечно малое преобразование ; поэтому диференциальные уравнения световых лучей будут допускать инвариантную форму

Следовательно, диференциальные уравнения, которые дают кривые (геометрические), описанные световыми лучами, будут допускать относительный интегральный инвариант

мы приходим к точке зрения, изложенной в предыдущей главе (п. 192).

200. Характеристическая система инвариантного пфаффова уравнения оптики может быть сведена, как известно к характеристическим уравнениям уравнения в частных производных первого порядка (впрочем, справедливо и обратное, но мы на этом не будем останавливаться).

Существование интегрального инварианта будет обеспечено всякий раз, когда закон распространения света допускает бесконечно малое преобразование; во всех этих случаях разыскание световых лучей может быть сведено к обыкновенной задаче вариационного исчисления.

Рассмотрим, например, случай, когда закон распространения света дается уравнением Монжа

причем показатель преломления может зависеть от х, но не зависит от . В этом случае закон распространения света допускает бесконечно малое преобразонанис и форма

буяет инвариантной формой. Если координаты х и у в функции от известны, то получается одной квадратурой. Что касается диференциальных уравнений, дающих X и у в функции от то они допускают относительный интегральный инвариант

или, что то же, интегральный инвариант

где три величины, связанные соотношением

Уравнения характеристик включают, в частности, следующие уравнения:

Значат., светозыс лучи соотвгтствуют стационарному значению интеграла