Глава XV. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ НЕСКОЛЬКО ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ИНВАРИАНТОВ.

Случай, когда известно столько же интегральных инвариантов, сколько имеется неизвестных функций.

156. В этом курсе мы не будем рассматривать общей проблемы интегрирования диференциальных уравнений, допускающих любое число интегральных инвариантов. Ограничимся наиболее простым случаем, когда система из обыкновенных диференциальных уравнений первого порядка с неизвестными функциями допускает линейных инвариантных форм (независимых)

т. е. линейных абсолютных интегральных инвариантов

В этом частном случае данные диференциальные. уравнения могут быть записаны так:

Так как внешние квадратичные формы являются инвариантными, то они могут быть выражены через формулами вида

Коэфициенты являются, очевидно, первыми интегралами данной системы диференциальных уравнений. Мы сейчас увидим, что задачу всегда можно привести к случаю, когда постоянны.

Действительно, предположим, что среди интегралов имеется некоторое число независимых, которые мы обозначим

коэфициенты будут определенными функциями этих интегралов. Каждый диференциал в свою очередь, является инвариантной формой, которую можно линейно выразить через

Коэфициенты в свою очередь, будут первыми интегралами; если среди них имеется независимых между собой и независимых от то их диференциалы также можно выразить в виде функций, линейных относительно и новые коэфициенты дадут новые первые интегралы и т. д. Наступит момент, когда этот

процесс закончится, и мы придем к некоторому числу первых интегралов таких, что коэфициенты формул (2) и коэфициенты формул

будут определенными функциями от

После этого допустим, для определенности, что определитель, составленный из первых столбцов матрицы коэфициентов отличен от нуяя. Тогда можно заменить инвариантных форм инвариантными формами Если приравнять произвольным постоянным, то новая система уравнений будет иметь инвариантных форм и мы получим

причем все коэфициенты сбудут теперь константами.

157. Итак, рассмотрим случай, когда все коэфициенты в формулах (2) являются постоянными. Легко усмотреть, что, обратно, существование соотношений вида (2) имеет следствием инвариантность форм по отношению к диференциальным уравнениям (1): в самом деле, характеристическая система совокупности форм получается, если к уравнениям (1) прибавить уравнения систем, ассоциированных с ; но все эти уравнения являются следствием уравнений (1).

Если подвергнуть формы линейному преобразованию с постоянными ковфициентами

то и эти новые формы будут инвариантными; значит, будут иметь место соотношения

с новыми константами Условимся говорить, что таблица коэфициентов имеет ту же структуру, что и таблица

Может случиться, что постоянные коэфициенты линейной подстановки (4) можно будет выбрать так, чтобы в выражения первых производных в числе входили только т. е. так, чтвбы имели место соотношения:

В этом случае формы будут инвариантны по отношению к вполне интегрируемой системе Пфаффа

Если проинтегрировать эту систему и приравнять первые интегралы произвольным постоянным, то данная система сведется к аналогичной, но состоящей уже из уравнений с неизвестными функциями.

Назовем таблицу коэфициентов простой, если нельзя найти такую линейную подстановку (4) с постоянными коэфициентами, которая позволила бы осуществить указанное приведение. Мы видим, что данная система диференциальных уравнений может быть сведена к последовательным системам, у каждой из которых таблица простая. Каждой простой таблице соответствует отдельная задача интегрирования.

158. Оставляя пока в стороне этот метод приведения, представим себе другую систему диференциальных уравнений

допускающую инвариантных форм а стало быть, и соотношения

в которых коэфициенты имеют те же численные значения, что и в формулах (2). Пусть

будут две системы независимых первых интегралов: одна для уравнений (1), другая для уравнений Тогда могут быть выражены через и их диференциалы, а -через и их диференциалы. Всегда можно так выбрать первые интегралы чтобы выражались через так же, как выражаются через Иными словами, если это условие и не выполнено, то во всяком случае можно найти такие функции

чтобы при

стали соответственно равны Для этого достаточно проинтегрировать уравнения в полных диференциалах

в которых являются искомыми функциями независимых переменных Эта пфаффова система (5) вполне интегрируема потому что внешние производные

левых частей входящих в ее состав уравнений обращаются в нуль в силу самих уравнений (5).

В частности, это показывает, что интегрирование систем (1) и (1) — проблемы существенно одной природы, том смысле, что любой прием интегрирования, использующий лишь то обстоятельство, что данные формы инвариантны, может быть приложен параллельно к системам (1) и (1); всякому продвижению в интегрировании системы (1) будет соответствовать такое же продвижение в интегрировании системы

Группа, сохраняющая данные инварианты.

159. Вернемся к системе (1) и представим себе, что выбраны независимых первых интегралов

Можно найти бесконечное число иных систем из первых интегралов

таких, что формы выразятся через у и их диференциалы так же, как они выражаются через и их диференциалы. Для этого достаточно проинтегрировать систему Пфаффа

где через обозначены такие же функции от и какими являются по отношению к . В этой пфаффовой системе будем смотреть на переменные как на искомые функции независимых переменных Эта система будет вполне интегрируемой в силу тех же соображений, которые были сделаны по поводу системы (5). Значит, существуют функции

зависящие от произвольных постоянных и удовлетворяющие указанным выше условиям.

Уравнения (7) определяют бесконечное множество преобразований первыми интегралами сохраняющих исходные данные

нашей проблемы, т. е. оставляющих инвариантными формы

Эти преобразования образуют группу так как, выполняя последовательно два преобразования вида (7), мы получим результирующее преобразование того же вида. Эта группа конечная группа с параметрами: это наиболее широкая группа преобразований первых интегралов данной системы, сохраняющая данные инвариантные формы. Ясно, что польза, которую можно извлечь из знания этих инвариантных форм, зависит от природы этой группы. Здесь мы снова встречаемся с общим явлением, имеющим место во всех случаях, когда a priori известны интегральные инварианты, системы инвариантных уравнений, бесконечно малые преобразования и т. п. Природа наиболее широкой группы преобразований первых интегралов данной системы (или, что в сущности то же, ее интегральных крцвых, рассматриваемых как неделимые объекты), преобразований, сохраняющих эти известные a priori данные, имеет исключительно важное значение для интегрирования системы.

В частности, в нашем случае мы видим, что, исходя только из инвариантности форм нельзя получить без интегрирования ни одного первого интеграла данной системы. Действительно, в противном случае инвариантность форм позволила бы выделить некоторый первый интеграл, например который в силу этого должен был бы равняться одному из интегралов, определенных формулами (7); но это, очевидно, невозможно, потому что уравнения (6) всегда допускают такое решение, при котором данным численным значениям соответствуют произвольные численные значения

160. Постоянные с играют важную роль по отношению к группе они представляют собой то, что в теории непрерывных групп называют структурными константами группы. Метод редукции, указанный выше (п. 157), основывается как раз на разложении группы в нормальный ряд подгрупп. Случай простой таблицы коэфициентов соответствует простым группам.

Известно, что структурные константы группы не могут быть выбраны произвольно; в нашем случае это легко проверить, записав, что внешние производные от равны нулю. Внешняя производная от если использовать выражения (2) для будет иметь вид (п. 73):

Значит, необходимыми являются следующие соотношения:

В теории групп доказывается, что эти условия достаточны для того, чтобы существовала группа, допускающая в качестве структурных констант.

Примеры.

161. Предположим, что все константы равны нулю. В этом случае ясно, что интегрирование сводится к независимым квадратурам, так как все формы представляют собой полные диференциалы. Но раз формы сводимы к виду

то, значит, группа О выразится уравнениями

Этот случай всегда имеет место, если

Исследуем все возможные случаи при Кроме только что разобранного случая, возможен еще один:

причем коэфициенты не равны нулю одновременно. Предположим, например, что Взяв в качестве новой формы форму. очевидно, получим

Первая квадратура дает

если теперь приравнять произвольной постоянной, то станет полным диференциалом, и вторая квадратура закончит интегрирование. Изменив несколько обозначения, можем написать

Группа определится уравнениями:

162. Не будем делать общего исследования при Отметим только наиболее интересный случай, когда формулы (2) можно привести к виду

В этом случае интегрирование системы (1) сводится к интегрированию одного уравнения Риккати.

Действительно, рассмотрим уравнение Пфаффа

в котором рассматривается как искомая функция от переменных, зависимых и независимых, входящих в диференциальные уравнения данной системы. Уравнение (8) вполне интегрируемо; в этом нетрудно убедиться, взяв внешнюю производную левой части: она будет равна нулю, если принять во внимание выражения для и само уравнение (8). Значит, его интегрирование можно свести к интегрированию обыкновенного диференциального уравнения, которое в нашем случае будет, очевидно, уравнением Риккати. Если через обозначить систему независимых первых интегралов данных уравнений (1), то можно будет выразить с помощью функций и их диференциалов; значит, общее решение уравнения (1) будет функцией от произвольной постоянной С). Если записать общее решение уравнения Риккати (8) в классической форме

то отношения функций дают три первых интеграла данных уравнений, и легко доказать, что эти интегралы независимы.

Обобщения.

163. Мы не можем задерживаться дольше на этой теории, обстоятельное изложение которой требует довольно широких сведений из теории непрерывных групп. Последняя, как мы видели, необходимо входит в рассуждения, если нужно исследовать до конца методы интегрирования диференциальных уравнений, допускающих данные интегральные инварианты. Отметим только, что метод п. 143 может быть распространен на любую систему диференциальных уравнений, допускающую инвариантные формы, инвариантные пфаффовы уравнения и т. д. Он состоит в том, что с помощью введения вспомогательных переменных строится столько линейных интегральных инвариантов, сколько данная система допускает независимых первых интегралов. Чтобы понять дух метода, достаточно рассмотреть один пример.

Предположим, что нужно проинтегрировать систему диференциальных уравнений с 4 переменными:

причем каждое из уравнений инвариантно для данной системы. Введем три новых вспомогательных переменных и рассмотрим три формы:

Интегрирование характеристической системы этих трех форм приведет к интегрированию данной системы, если исключить из соотношений, определяющих какое-нибудь решение (2). Построим теперь внешние производные предполагая, что

где — функции первоначальных переменных; получим:

Коэфициенты

являются, следовательно, первыми интегралами системы (2), характеристической по отношению к формам Значит, то же справедливо и относительно

и форма

будет инвариантной формой. Но она не содержит вспомогательных переменных значит, это — инвариантная форма по отношению к данной системе То же, конечно, можно сказать и про формы Итак, если ни один из коэфициентов не равен нулю, то данная система уравнений допускает три линейные инвариантные формы; все сводится к проблеме, уже рассмотренной в этой главе.

Так дело будет обстоять, конечно, не всегда; но во всех случаях найдется та или иная возможность полностью использовать сведения об инвариантах данной системы уравнений.