Глава XIII. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ЛИНЕЙНЫЙ АБСОЛЮТНЫЙ ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ИНВАРИАНТ.

Общий метод интегрирования.

129. Пусть — линейная диференциальная форма; ее билинейный ковариант имеет четный ранг Возможны два случая, в зависимости от того, будет ли уравнение следствием характеристической системы формы , или нет. Рассмотрим сначала первый случай.

1) Очевидно, можно положить

причем форм -линейно независимы. В этом случае характеристическими уравнениями формы будут

Нетрудно указать приведенную форму для . Действительно, операции порядков

позволяют найти последовательно первых интегралов

характеристических уравнений формы , понижающих ее ранг до нуля, если их приравнять произвольным постоянным. При помощи квадратуры форма приводится тогда к виду

Такова искомая приведенная форма, получаемая с помощью операций порядка

и дающая общее решение характеристических уравнений формы .

Мы видим, что в этом случае интегрирование характеристической системы и интегрирование характеристической системы — задачи эквивалентные, а потому тот факт, что является абсолютным интегральным инвариантом, даст для интегрирования системы не больше, чем если бы был относительным интегральным инвариантом.

Так будет обстоять дело, по крайней мере, в том случае, когда для интегрирования характеристической системы используется метод, изложенный в п. 119; если применить метод п. 122, то это уже не будет иметь места.

2) Во втором случае (т. е.. когда уравнение не является следствием характеристической системы формы можно положить

причем форм являются линейно независимыми. Уравнения

которые состоят из уравнения и из системы, ассоциированной с формой , где предположено, что диференциалы связаны соотношением эти уравнения имеют внутренний смысл. Они представляют собой ассоциированную систему двух форм: следовательно — характеристическую систему пфаффова

уравнения Мы назовем ее системой а характеристическую систему формы «и назовем системой (5); эта последняя содержит еще уравнение

С помощью операции порядка можно получить первый интеграл системы (27). Если приравнять его произвольной постоянной, то система новой формы , т. е. характеристическая система нового уравнения будет содержать двумя уравнениями меньше. Значит, с помощью операций порядка

можно будет найти новые интегралы

такие, что если их приравнять произвольным постоянным, то новая система соответствующая , сведется к одному единственному уравнению, именно к уравнению Это означает, что последнее уравнение будет вполне интегрируемо, и новая операция порядка 1 даст еще один интеграл после чего можно будет написать

Так получают приведенный вид формы , содержащий минимальное число переменных, где есть число уравнений системы характеристической по отношению к т. е. класс формы

Можно без труда найти наиболее общее преобразование характеристических переменных которое сохраняет форму равенство

дает, если ограничиться общим случаем,

Эти формулы показывают, что переменные преобразуются в аналогичные переменные. Это переменные в наименьшем числе, с помощью которых может быть записано уравнение они являются первыми интегралами характеристической системы этого уравнения.

Если существует независимых соотношений между

то формулы, определяющие преобразование, имеют вид:

они содержат вспомогательных переменных

130. Обратим внимание на разницу между нечетными и четными характеристическими системами, с точки зрения их интегрирования: в первом случае интегрирование выполняется с помощью операций порядка

во втором — с помощью операций порядка

Заметим еще, что оба случая практически различаются следующим образом. Пусть ранг формы т. е. пусть наибольший показатель степени, при котором форма не обращается в нуль. Тогда в первом случае не равно нулю, а во втором равно нулю.