Абсолютные интегральные инварианты и инвариантные диференциальные формы.

29. Сделав эти общие замечания, займемся абсолютными интегральными инвариантами. Элементом любого абсолютного интегрального инварианта является диференциальная форма не изменяющаяся при таком перемещении бесконечно близких точек соответственно по их траекториям, когда рассматриваются лишь одновременные положения точек на траекториях. Рассмотрим, в частности, момент получим

Будем теперь рассматривать в правой части равенства как первые интегралы системы (1); заменим их выражениями через мы получим новое тождество:

Правая часть этого тождества представляет собою, очевидно, величину, численное значение которой обусловлено лишь траекторией, соответствующей начальным значениям и бесконечно близкой траекторией. Это значение не зависит, таким образом, от специального выбора точки на первой траектории и точки на второй. Мы получаем снова элемент интегрального инварианта, но инварианта более полного, чем тот, из которого мы исходили, потому что теперь мы не обязаны ограничиваться рассмотрением точек, соответствующих одному и тому же моменту времени.

Заметим, далее, что от начальной формы весьма легко перейти к конечной форме . В самом деле, если при вычислении рассматривать как постоянную, то из получается снова форма Следовательно, имеем

Но входит в наши выкладки только через посредство выражений которые являются линейными комбинациями форм

следовательно, зависит только от этих линейных комбинаций;

поэтому, чтобы получить значение при любом достаточно в его выражении при заменить через Окончательно получаем:

30. Резюмируем только что полученные результаты. Их два.

1) Форма представляющая собою элемент абсолютного интегрального инварианта в смысле Пуанкаре — форма, в которую входят диференциалы одних лишь зависимых переменных, — связана с более полной формой в которую входит, кроме того, и диференциал (или диференциалы) независимой переменной От формы можно перейти к форме опуская в все члены, содержащие и обратно, от к можно перейти, заменяя в выражения

выражениями

2) Форма может быть выражена через первые интегралы системы (1) и их диференциалы.

Последнее свойство делает очевидным инвариантный характер формы

На простом примере легко понять взаимную связь форм Если исходить из некоторого интеграла и, то полный диференциал будет, очевидно, формой ей соответствует форма

и ясно, что

31. Мы условимся говорить, что диференциальная форма, которая может быть выражена с помощью первых интегралов системы (1) и их диференциалов, является инвариантной для системы (1).

Подинтегральное выражение абсолютного интегрального инварианта получается, если приравнять нулю в инвариантной форме. Так, двойной интегральный инвариант динамики связан с инвариантной формой

или, если предпочитаем ввести два ряда диференциалов, с формой

Ее выражение через первые интегралы будет, очевидно, таким: