Глава I. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ ГАМИЛЬТОНА И ТЕНЗОР "КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ - ЭНЕРГИИ".

Случай свободной материальной точки.

1. Всю небесную механику можно обосновать на принципе, который приводит определение движения материальной системы к решению проблемы вариационного исчисления: это — принцип наименьшего действия Гамильтона. Начнем его изложение со случая движения свободной материальной точки под действием силы, допускающей силовую функцию зависящую от прямолинейных координат точки х, у, z и от времени

В этом простом случае принцип Гамильтона выражается так:

Из всех возможных движений, переводящих материальную точку из данного положения в момент в другое данное положение в момент фактически осуществляется то, при котором определенный интеграл

принимает наименьшее значение.

В этом выражении обозначает массу точки; х, у, z - компоненты скорости; величина под знаком интеграла называется элементарным действием; интеграл есть действие за промежуток врёмени

Для доказательства этого принципа будем рассматривать как функции и произвольного параметра а и вычислим вариацию интеграла когда а получает приращение да, полагая при этом, что при любых значениях а принимают значения при и значения при Имеем:

интегрирование по частям (заметим, что при вариации равны нулю) дает:

Если потребовать, чтобы обращалось в нуль при каковы бы ни были функции от равные нулю при то, применяя классическое рассуждение, найдем, что для этого необходимо и достаточно, чтобы при имели место равенства:

Отсюда следует, что движения материальной точки под действием данной силы осуществляют экстремум интеграла по отношению ко всем возможным бесконечно близким движениям, соответствующим тому же самому начальному и конечному положениям точки, и что, кроме того, эти движения являются единственными, обладающими указанным экстремальным свойством.

Строго говоря, речь может итти только об экстремуме действия, а не о минимуме, так как обращение первой вариации в нуль есть условие необходимое, но не достаточное для минимума.

2. Может показаться, что элементарное действие

введено здесь при помощи чисто искусственного приема вычисления, чтобы получить возможность выразить в сжатой форме законы движения. Мы сейчас увидим, что принцип Гамильтона можно заменить другим эквивалентным принципом, который также связан с выражением, линейным относительно но у которого все коэфициенты имеют простое механическое значение.

Действительно, вернемся к действию но предположим теперь, что и сами являются функциями параметра а, так что соответствующие значения также суть функции а. Вычисляя приемами диференцирования определенного интеграла, получаем:

(см. скан)

которая представляет вариацию действия вдоль этих переменных траекторий, сводится к

Предположим, наконец, что мы рассматриваем "трубку" траекторий, т. е. неирерывную линейную замкнутую последовательность траекторий, каждая из которых ограничена промежутком времени полная вариация действия, когда мы вернемся к начальной траектории, будет, очевидно, равна нулю, так что, интегрируя по а, получим

3. Для пояснения полученного результата условимся называть состоянием материальной точки совокупность семи величин

определяющих: три первые — положение точки, три следующие — ее скорость и последняя — момент времени, в который мы ее рассматриваем. Состояние точки можно рассматривать как точку пространства семи измерений — пространства состояний. Траекторию можно определить как последовательность состояний, соответствующих одному и тому же реальному движению точки, т. е. в итоге, как решение системы диференциальных уравнений

В силу этого, криволинейный интеграл

взятый вдоль некоторой замкнутой кривой пространства состояний, не изменяется, если переместить каким-либо способом каждое из составляющих его состояний вдоль траектории, соответствующей этому состоянию.

Можно также сказать, что если дана какая-либо трубка траекторий, то интеграл взятый вдоль замкнутой кривой, охватывающей эту трубку, не зависит от этой кривой, а зависит только от трубки.

Следует заметить, что выражение можно рассматривать как элементарную работу вектора четырехмерного мира (х, у, z, t); этот вектор имеет в качестве пространственных компонент три обычных компоненты количества движения и в качестве компоненты по времени —

энергию. Его можно назвать "тензор количества движения — энергии"; каждая из компонент имеет, таким образом, простое механическое значение.

4. Если рассматривать последовательность "одновременных" состояний, т. е. если предположить то интеграл принимает вид

в этом предположении мы получаем следующую теорему:

Если рассматривать замкнутую последовательность траекторий и если взять на этих траекториях состояния, соответствующие какому-либо определенному моменту то интеграл взятый по замкнутой последовательности полученных таким образом состояний, не зависит от

Эта теорема принадлежит А. Пуанкаре, который характеризовал полученное таким образом свойство, дав наименование интегрального инварианта интегралу

взятому по замкнутому контуру

В эту концепцию Пуанкаре понятие энергии не входит; оно необходимо появилось бы, если бы вместо исследования замкнутой последовательности одновременных состояний мы исследовали замкнутую последовательность любых состояний.

Будем говорить, что интеграл от тензора "количества движения — энергии" есть полный интегральный инвариант (или проще — интегральный инвариант, в случаях, когда нет оснований опасаться путаницы) для диференциальных уравнений движения. Интегральный инвариант Пуанкаре есть, следовательно, полный интегральный инвариант тензора "количество движения — энергии", рассматриваемый с особой точки зрения.

Замечательно, что если вместо последовательности одновременных состояний мы будем рассматривать последовательность состояний, удовлетворяющих соотношениям

то тензор приводится к элементарному действию Гамильтона

Следовательно, интегральный инвариант Пуанкаре и действие Гамильтона представляют собою лишь два различных вида интеграла "количество движения — энергии", хотя с первого взгляда между этими двумя понятиями и нет никакой связи.

5. Выше мы вывели из принципа Гамильтона одно свойство тензора "количества движения — энергии", а именно, что интеграл этого тензора, взятый вдоль замкнутой линии состояний, не изменяется, когда меняют форму этой замкнутой линии, не меняя трубки траекторий, на которой она лежит. Докажем теперь, что это свойство может заменить принцип Гамильтона, а именно, что диференциальные уравнения движения являются единственными, которые допускают в качестве интегрального инварианта интеграл взятый по любому замкнутому контуру.

Действительно, пусть дана некоторая система диференциальных уравнений

где знаменатели суть определенные функции семи переменных Вообразим трубку интегральных кривых системы, зависящих от параметра и пусть этот параметр изменяется от до I, так что интегральная кривая, соответствующая тождественна с той, которая соответствует Чтобы выразить, что интеграл взятый вдоль замкнутой кривой, охватывающей эту трубку, не зависит от выбора кривой, представим, что координаты любого состояния, лежащего на трубке, являются функциями параметра а и другого параметра и. Придав и постоянное значение, получим замкнутую кривую, охватывающую трубку. Перемещаясь вдоль какой-нибудь интегральной кривой, составляющей трубки, имеем:

где обозначает произвольный фактор, который можно выбрать таким образом, что при получится данная последовательность замкнутых контуров, охватывающих трубку.

Тогда интеграл в котором и имеет определенное значение, есть функция если для перемещения, при котором изменяется только и, сохраним символ , мы получим:

или, изменяя порядок диференцирований и интегрируя по частям,

Члены, полностью проинтегрированные, очевидно, равны нулю, так как контур интегрирования замкнутый. Что же касается интеграла, который остается в правой части, то для того, чтобы был интегральным инвариантом рассматриваемой системы диференциальных уравнений, необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл обращался, в нуль, если в нем заменить

значениями

каков бы ни был замкнутый контур и какова бы ни была функция Отсюда легко вывести, что коэфициенты при

должны тождественно равняться нулю. Следовательно, для того, чтобы система диференциальных уравнений допускала интегральный инвариант необходимо и достаточно, чтобы уравнения

или

были следствиями диференциальных уравнений системы.

Первые шесть из этих уравнений представляют не что иное, как классические диференциальные уравнения движения; седьмое уравнение дает в качестве своего следствия теорему живых сил.

6. Из предыдущего очевидна важная роль, которую играет тензор "количество движения — энергии". Если допустить, что траектория определена как последовательность состояний, образующих решение системы обыкновенных диференциальных уравнений, то эта система среди всех возможных систем диференциальных уравнений характеризуется тем, что допускает в качестве интегрального инварианта криволинейный интеграл от тензора "количество движения — энергии", распространенный по любому замкнутому контуру состояний.

Отсюда получаем новый принцип, который может быть назван принципом сохранения количества движения и энергии. Как мы видели в предыдущем параграфе, теорема живых сил есть одно из следствий этого принципа.

Общий случай.

7. Все предыдущие рассуждения можно распространить на материальные системы, какие обыкновенно рассматривают в аналитической механике. Предположим, что эти системы удовлетворяют трем условиям.

1) Связи, которым они подчинены, являются совершенными, т. е. в каждый момент сумма элементарных работ сил связи равна нулю при любом виртуальном перемещении, совместном с теми связями, которые существуют в этот момент При этих условиях имеет силу принцип Даламбера (d' Alembert), выраженный в такой форме:

Принцип Даламбера. Если рассматривать движение, под действием заданных сил, некоторой материальной системы, подчиненной совершенным связям, то в каждый момент времени сумма элементарных работ заданных сил и сил инерции равна нулю — при всяком виртуальном перемещении системы, совместном со связями, существующими в этот момент.

Принцип Даламбера выражается формулой

где обозначают компоненты данной силы, приложенной к точке массы обозначают компоненты самого общего элементарного перемещения, совместного со связями.

Из всех систем с совершенными связями мы будем далее рассматривать только те, связи которых голономны, т. е.

2) Мы предположим, что связи могут быть выражены конечными уравнениями между координатами точек системы и временем Это значит, что координаты различных точек системы могут быть выражены формулами вида:

куда входят произвольных параметров Каждой совокупности значений соответствует положение системы, и притом единственное, совместное со связями, которые существуют в момент Всякое виртуальное перемещение, совместное со связями, существующими в момент t, получается, если дать произвольные приращения

Сделаем, наконец, последнее предположение:

3) Сумма элементарных работ данных сил при любом виртуальном перемещении, совместном со связями, существующими в момент равна полному диференциалу некоторой функции т. е.

во второй части отсутствует член так как виртуальные перемещения, о которых идет речь в принципе Даламбера, предполагают, что остается постоянным.

8. Принцип наименьшего действия Гамильтона распространяется без труда на системы такого рода. Положим

Будем рассматривать параметры как функции и параметра а, причем нижний и верхний пределы интеграла могут зависеть от а. Если а получает вариацию да, то вычисление, тождественное проведенному выше дает нам вариацию действия

где

На основании принципа Даламбера отсюда непосредственно следует, что данное реальное движение системы, рассматриваемое за некоторый промежуток времени дает экстремум действия по сравнению со всеми возможными бесконечно близкими движениями, соответствующими одному и тому же начальному положению и одному и тому же конечному положению системы. Обратно, единственные движения, которые обладают этим свойством, это — реальные движения системы; в этом состоит принцип наименьшего действия Гамильтона.

Более того, формула (8). показывает, что интеграл распространенный на замкнутый контур состояний системы (совместных со связями), не изменяется, если деформировать этот замкнутый контур, переместив каким-либо способом каждое из состояний, его составляющих, вдоль соответствующей траектории системы. Иначе говоря, интеграл есть интегральный инвариант для диференциальных уравнений движения.

Диференциальная форма если мы условимся рассматривать только состояния системы, совместные со связями, также может быть названа тензором "количество движения—энергии" системы.

9. Диференциалы которые входят в выражение вообще говоря, не произвольны, так как они должны удовлетворять уравнениям, полученным путем полного диференцирования уравнений связи системы. Если ввести параметров положения системы, то эти диференциалы можно выразить также при помощи величин

Станем на эту точку зрения и определим, с одной стороны, диференциальные уравнения движения, а с другой, — тензор "количество движения—энергии". Для этого нам достаточно вычислить предполагая, что элементарное действие выражено посредством параметров и времени Положим

кинетическая энергия, есть функция второй степени относительно производных обозначим эти производные через и будем рассматривать их как аргументы, независящие от и от Положим:

Простое вычисление дает

(см. скан)

10. Простое замечаниепозволяет упростить вычисление обобщенной энергии . Кинетическая энергия содержит, вообще говоря, члены второй, первой и нулевой степени относительно пусть

тогда применение теоремы Эйлера однородных функциях непосредственно дает

В обобщенной энергии член можно рассматривать, как имеющий кинетическое происхождение, а член как имеющий динамическое происхождение.

Возьмем, например, случай свободной материальной точки, отнесенной осям, вращающимся вокруг с угловой скоростью Получим

а следовательно, энергия, отнесенная к выбранной системе референции, будет

часть энергии динамического происхождения разлагается на два члена, из которых один происходит от данных сил, а другой — от центробежных сил. Что касается компонент количества движения, то они суть

т. е. они являются проекциями абсолютного количества движения на выбранные координатные оси.

11. Канонические переменные Гамильтона. Уравнения движения, рассматриваемые как диференциальные уравнения первого порядка между принимают исключительно простую форму, если в них ввести переменные

Новые переменные, которые мы вводим вместо являются просто компонентами количества движения системы. Тензор принимает тогда простой вид:

где следует рассматривать как функцию

Будем непосредственно искать уравнения движения, используя тот факт, что они допускают в качестве интегрального инварианта интеграл взятый вдоль произвольной замкнутой кривой состояний системы.

Пусть

— некоторая система диференциальных уравнений. Чтобы выразить, что она допускает интегральный инвариант будем только повторять слово в слово рассуждения п. 5. Мы рассматриваем трубку интегральных кривых системы (16) и выражаем координат Состояния трубки как функции двух параметров а и и, причем первый параметр остается постоянным на интегральной кривой и изменяется в интервале так что интегральная кривая, соответствующая совпадает с интегральной кривой, соответствующей

Обозначая через символ диференцирования, относящийся к переменной и полагая

посредством интегрирования по частям получаем:

Для того чтобы система (16) допускала интегральный инвариант необходимо и достаточно, чтобы коэфициенты при

в подинтегральном выражении обращались все в нуль в силу уравнений системы. Приравнивая нулю эти коэфициенты, мы получаем уравнений:

Это доказывает, что существует единственная система диференциальных уравнений, допускающая интегральный инвариант и в то же время дает нам уравнения движения в канонической форме Гамильтона:

Последнее уравнение

представляет собою аналитическое выражение теоремы живых сил; оно является следствием первых уравнений.

12. Итак, в общем случае материальных систем аналитической механики мы приходим к обобщенному принципу сохранения количества движения и энергии:

Если допустить, что всякое движение системы, находящейся под действием данных сил, есть непрерывная последовательность состояний, удовлетворяющая системе диференциальных уравнений первого порядка, то эти диференциальные уравнения характеризуются тем свойством, что они допускают в качестве интегрального инварианта интеграл тензора "количества движения — энергии", взятый по произвольному замкнутому контуру состояний.

Тензор "количества движения — энергии" имеет одну из форм:

Если перемещаться в пространстве состояний так, чтобы удовлетворялись соотношения

то выражение обращается в элементарное действие Гамильтона наоборот, если рассматривать только последовательность одновременных состояний то получим выражение

т. е. подинтегральное выражение в интегральном инварианте А. Пуанкаре.

13. Принцип сохранения количества движения и энергии позволяет составить уравнения движения, каким бы способом мы ни выбрали параметры служащие для определения состояния системы в пространстве и времени. Иначе говоря, он дает законам механики, как это делает, впрочем, неявно и принцип Гамильтона, форму, не зависящую от выбора пространственно-временных координат. Это свойство делается аналитически ясным, если вместо того, чтобы вводить производные от пространственных параметров по параметру временному, мы введем величин

взаимные отношения которых определяются равенствами

Полагая

где правая часть, однородная первой степени относительно выражена через мы убеждаемся, что тензор "количества движения — энергии" принимает форму

Движение точки, находящейся под действием сил притяжения, в общей теории относительности подчиняется предыдущему принципу: функция имеет здесь вид

с четырьмя переменными служащими для локализации точки в пространстве и времени.