Случай, когда число бесконечно малых преобразований равно числу неизвестных функций.

166. Предположим теперь, что система (4), представляющая собой совершенно произвольную вполне интегрируемую систему Пфаффа, проинтегрирована; предположим даже, что известно хотя бы одно решение этой системы: этому решению соответствует бесконечное множество решений данной системы, которые получаются при интегрировании уравнений

Для этой системы известны инвариантных форм Вопрос сводится к проблеме, изученной в предыдущей главе.

В этом случае нетрудно определить a priori коэфициенты входящие в выражения

Действительно, применим формулу (6), заменив в ней символ 8 символом символ символом а символ выражением . Но все равны либо нулю, либо единице, т. е. равны постоянным, а потому формула (6) сводится к

Итак, получаем

167. Ограничимся теперь случаем, когда все коэфициенты постоянны. Можно доказать, что в этом случае данные бесконечно малые преобразования порождают группу параметрами, структурными коэфициентами которой будут Ясно, что система (7) входит при этом в категорию систем, изученных в предыдущей главе и соответствующая последним группа имеет ту же структуру, что и группа которую допускает данная диференциальная система (7). Эта группа представляет собой наиболее широкую группу преобразований первых интегралов. сохраняющую закон, по которому преобразуются эти интегралы под действием данных бесконечно малых преобразований. Действительно, обозначим через произвольную функцию от Очевидно, можно определить, и притом единственным образом, пфаффовых выражений тождественно удовлетворяющих соотношению

(тождественно в том смысле, что оно должно удовлетворяться, каковы бы ни были аргументы и диференциалы Если в этом тождестве заменить неопределенный символ диференцирования символом то получится

Значит, все равны нулю, за исключением

а отсюда, наконец, следует, что все формы тождественны с формами Применим теперь к некоторое преобразование группы эти величины обратятся в функция

станет функцией символы перейдут в и мы получим

Но построены с помощью и их диференциалов точно таким же образом, как построены с помощью поэтому коэфициент при будет той же самой функцией от какой был коэфициент при относительно Иными словами, данные бесконечно малые преобразования преобразуют таким же образом, как и

Кроме того, мы видим здесь, что группа представляет собой наиболее широкую группу преобразований первых интегралов, сохраняющую данные инвариантные свойства системы.

Приложение к диференциальным уравнениям второго порядка.

168. Мы уже исследовали непосредственно случай Возьмем еще несколько примеров.

Уравнение второго порядка вида

эквивалентно системе

допускающей два бесконечно малых преобразования:

Чтобы привести матрицу к нормальному виду, нужно положить

Обе эти инвариантные формы являются полными диференциалами, а потому искомое общее решение получается двумя независимыми квадратурами:

Рассмотрим теперь диференциальное уравнение второго порядка вида

оно допускает параллельный перенос в направлении оси и преобразование подобия с центром в О, что соответствует бесконечно малым преобразованиям:

Наше уравнение эквивалентно системе

Чтобы привести матрицу к нормальному виду, нужно положить

В данном случае имеем

в силу этого легко получаем

Значит, интегрирование осуществится с помощью двух квадратур:

Обобщения. Примеры.

169. При исследовании системы состоящей из уравнений Пфаффа, допускающих бесконечно малых преобразований

мбжет случиться, что ранг матрицы меньше (это всегда имеет место при обозначим этот ранг через Мы можем, не уменьшая общности, считать, что детерминант, составленный из первых строк и первых столбцов, отличен от нуля. Тогда, каков бы ни был индекс получим соотношений:

Коэфицыенты входящие в эти соотношения, будут первыми интегралами; действительно, для любой линейной комбинации форм в частности, для диференциалов независимых первых интегралов, будут иметь место те же соотношения

откуда следует, что зависят только от т. е.

В этом общем случае исследование основывается на тех же принципах, что и предыдущее; мы не будем развивать его дальше.

170. Пример I. Рассмотрим диференциальное уравнение

определяющее плоские кривые данного радиуса кривизны. Оно эквивалентно системе

Эта система допускает три бесконечно малых преобразования, соответствующие параллельному переносу вдоль параллельному переносу вдоль и вращению вокруг О. Эти преобразования должны быть вычислены с учетом их действия не только на х и у, но и на у. Получим без труда

Матрица в данном случае такова:

значит, имеем

Отсюда нетрудно получить два первых интеграла нашей системы одними диференцированиями, а это, сбою очередь, даст нам общее решение данного уравнения второго порядка:

или

171. Пример II. Рассмотрим диференциальное уравнение третьего порядка

определяющее плоские кривые постоянной кривизны. Оно эквивалентно системе

Эта система допускает четыре бесконечно малых преобразования, соответствующие параллельным переносам вдоль осей вращению вокруг О и преобразованию подобия с центром в О. Символы этих преобразований над переменными х, имеют вид

Составляем матрицу

Она — третьего ранга, так как, например, определитель, составленный из первого, второго и четвертого столбцов, отличен от нуля. Отсюда получаем соотношение

которое дает два первых интеграла:

Чтобы довести интегрирование до конца, составим такие линейные комбинации которые приводят главный определитель матрицы к нормальному виду. Для этого нужно положить

С другой стороны, имеем:

и

Значит, полный диференциал, а потому недостающий первый интеграл получается квадратурой. Общее решение данного уравнения третьего порядка выоазится формулами:

Мы видим, что группа сохраняющая данные, будет зесь: потому что она содержит произвольную постоянную а. Интегрирование сводится к квадратуре именно потому, что это группа однопараметрическая. В предыдущем примере группа состояла только из тождественного преобразования; в связи с этим решение было получено без всякого интегрирования.

172. Замечание. Во всех случаях, когда имеются линейных инвариантных форм, имеются и интегральные инварианты всех степеней, которые получаются путем образования из внешних форм с постоянными коэфициентами. Так, предыдущем примере имеется интегральный инвариант который сводится к

если ограничиться совокупностями состояний, соответствующих одному и тому же значению

Значит, если рассмотрим в плоскости семейство окружностей, зависящее от трех параметров, и если пересечем круги этого семейства какой-нибудь прямой, параллельной оси то интеграл

распространенный на все это семейство кругов, не будет зависеть от Впрочем, этот интеграл равен

где через обозначены координаты центра, а через радиус.