Использование известных первых интегралов.

134. Предположим, что форма первого типа и что мы знаем независимых первых интегралов ее характеристической систему. Составим выражения если среди них будут новые интегралы, то прибавим их к данным и начнем процесс сначала; будем повторять эту операцию до тех пор, пока она уже не даст ничего нового. Будем считать, что все это уже проделано, т. е. что все выражения являются функциями .

Введем теперь вспомогательные переменные и построим две формы: одну линейную

вторую — внешнюю квадратичную

первая дает значение выражения когда -произвольная функция от частными производными которой служат вторая, или, вернее, соответствующая ей кососимметрическая билинейная форма

дает значение скобки

Теперь с помощью подходящей линейной подстановки над переменными приведем обе формы к простейшему виду. Возможны три случая: если приведена к виду

то может иметь место:

В результате линейной подстановки с коэфициентами — функциями от — диференциалы перейдут в линейных диференциальных форм удовлетворяющих тождеству

Сделав это, убедимся, что: В случае а) все формы

будут нулями, за исключением

Отсюда легко выводим

Если приравнять все произвольным постоянным, то форма попрежнему будет первого типа, а ранг формы уменьшится на единиц. Случай этот тождественен изученному в предыдущей главе, поскольку данные первые интегралы являются интегралами характеристической системы формы .

В случае имеем

и можно привести к виду

Если приравнять все произвольным постоянным, то форма останется формой первого типа, а ранг уменьшится на единиц.

В случае с) имеем

форму можно привести к виду

Если приравнять произвольным постоянным, то станет формой второго типа, а ранг понизится на единицы; характеристическая система нового уравнения будет состоять из уравнений. В этом случае для интегрирования потребуются операции порядка

тогда как в случаях а) и требуются операции порядка

Итак, форма остается формой первого типа, если внешнее произведение равно нулю, и становится формой второго типа в противном случае.

135. Предположим теперь, что форма — второго типа. Здесь мы тоже рассмотрим две формы

Коэфициенты даются уравнениями

поэтому, приравняв все произвольным постоянным, мы понизим ранг если обозначает ранг формы

Если приведена к нормальному виду

то можно предположить, что в то же время имеет одну из следующих трех форм;

Случай а) выражает, в силу тождеств (3), что все скобки равны нулю, т. е. что форма тождественный нуль. Следовательно, . В этом случае, очевидно, имеем:

остается формой второго типа, число уменьшается на единиц.

В случае имеем:

и может быть приведена к виду

Если приравнять функции у» произвольным постоянным, то останется формой второго типа, а ранг формы уменьшится на единиц.

В случае с) может быть приведена к виду

Если приравнять функции произвольным постоянным, то станет формой 1-го типа, а ранг уменьшится на единиц.

Подводя итоги, скажем, что остается формою второго типа, если произведение равно нулю, и становится формой первого типа в противном случае.

136. Мы свели дело к четырем существенно различным проблемам, если оставить в стороне два случая а), один из которых был изучен в предыдущей главе, а второй сводится к тому, что для

характеристической системы уравнения известны первых интегралов в инволюции.

Рассмотрим несколько ближе эти четыре приведенные проблемы и выясним, полностью ли были использованы известные первые интегралы. Метод исследования этого вопроса не будет отличаться от того, который был применен в предыдущей главе; он основан на приведении формы к каноническому виду путем введения соответственно подобранных функций от и от других независимых первых интегралов. Когда получена эта каноническая, форма, тогда можно вывести уравнения наиболее широкой группы преобразований интегральных кривых, сохраняющей исходные данные.

Укажем кратко канонический вид форм в каждом из четырех случаев, используя вычисления, аналогичные выкладкам предыдущей главы (п. 126). 4

1°. Форма — первого типа, формы и могут быть приведены к виду:

В этом случае имеем:

Положим

тогда внешнее диференцирование формы даст, если отвлечься от членов, содержащих

тождество

Если теперь положить

то, поскольку внешняя производная форма равна нулю, получим

Значит, окончательно:

(см. скан)

3°. Форма второго а формы и приводятся к

В этом случае имеем

Положим снова

и, продиференцировав внешним образом форму , оставим без внимания члены, содержащие

Получим

В силу этого тождества можно положить

отсюда видно, что, рассматривая как постоянные, мы получим эта форма будет ранга так как уравнение входит в состав системы, ассоциированной с Значит, можно положить

Пусть, наконец,

тогда

Мы видим, что известные первые интегралы были использованы полностью, и приходим, кроме того, к следующим каноническим соотношениям:

все остальные скобки равны нулю.

4°. Форма — второго типа, а формы и приводятся к

В этом случае имеем

Сохраняя за буквой прежнее значение и оставляя без внимания члены, содержащие

получим тождество:

Внешние производные равны нулю вместе с значит, можно положить

Если теперь рассматривать как постоянные, то внешняя производная формы будет равна нулю. Поэтому можно положить:

Наконец, полагая

получим

И в этом случае мы видим, что данные интегралы использованы полностью; и здесь мы получаем канонические соотношения:

все остальные скобки равны нулю.