ГЛАВА V. ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ ПФАФФА И ИХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ.

Понятие инвариантной системы Пфаффа.

48. Вместо форм, инвариантных по. отношению к системам диференциальных уравнений, можно рассматривать инвариантные уравнения. Пуанкаре использовал, в частности, инвариантные системы конечных уравнений: они обладают тем свойством, что если некоторая точка удовлетворяет такой системе, то и все точки, полученные при ее движении вдоль соответствующей траектории, будут удовлетворять этой системе. Пользуясь геометрическим языком, скажем, что многообразие, определенное системой инвариантных уравнений, представляет собою геометрическое место траекторий.

Точно так же можно рассматривать и инвариантные диференциальные уравнения. Рассмотрим сначала простой случай системы двух диференциальных уравнений:

Уравнение

мы назовем инвариантным в смысле Пуанкаре, если при переходе от любых двух одновременных бесконечно близких точек удовлетворяющих соотношению (2), к точкам лежащим на соответствующих траекториях, уравнение (2) сохраняет силу, т. е. если будет справедливым соотношение

Если уравнение (2) инвариантно в установленном только что смысле, то оно должно быть эквивалентно уравнению

в котором обозначают начальные значения х, у на траектории, проходящей через точку Если теперь в этом уравнении (3) рассматривать как функции заменить их выражениями через эти переменные, то уравнение примет, очевидно, вид

Новое уравнение (4), в силу самого своего происхождения, имеет инвариантный характер в полном смысле этого слова, так как оно выражает внутреннее свойство двух траекторий, соответствующих точкам и

Геометрически уравнение (4) каждой точке пространства ставит в соответствие плоскость, проходящую через эту точку.

Свойство инвариантности выражает тот факт, что прямая соединяющая точку с бесконечно близкой точкой расположена в плоскости соответствующей точке и что если переместить вдоль их траекторий (оставляя их все время бесконечно близкими) до положений получится прямая расположенная в плоскости соответствующей точке Следует заметить, что плоскость является касательной к траектории, проходящей через точку

В силу того, что сказано выше, ясно, что если кривая удовлетворяет в каждой из своих точек уравнению (4), т. е. является его интегральной кривой, то поверхность, образованная траекториями, проходящими через различные точки кривой будет интегральной поверхностью уравнения (4). Это вытекает также чисто аналитически из формы (3) уравнения (4).

49. Предыдущие соображения легко обобщаются. Пусть дана система диференциальных уравнений

пфаффова система

является инвариантной для системы (5), если уравнения (6) могут быть выражены исключительно с помощью первых интегралов системы (5) и их диференциалов, например, в виде

Это требует, прежде всего, чтобы уравнения (6) удовлетворялись тождественно при замене на но это условие, очевидно, недостаточно. Как бы то ни было, если пфаффова система (6) инвариантна, то она обладает важным геометрическим свойством, именно: если дано некоторое интегральное многообразие системы (6), то многообразие, которое поручится, если через каждую его точку провести траекторию системы (5), будет опять интегральным многообразием. В самом деле, при перемещении по этому многообразию в любую его точку координаты этой точки продолжают удовлетворять уравнениям (7).

[При этом под интегральным многообразием понимается такое многообразие, что при перемещении по этому многообразию в любом направлении удовлетворяются уравнения (6)].

Отсюда следует, что любое интегральное многообразие инвариантной пфаффовой системы (6) либо образовано траекториями данной системы диференциальных уравнений (5), либо составляет часть интегрального многообразия более высокого числа измерений, образованного, в свою очередь, траекториями этой системы.