Билинейные кососимметрические и внешние квадратичные формы.

55: Формы, которыми мы будем теперь заниматься, это — выражения, стоящие под знаком кратного интегрирования, причем в этих выражениях диференциалы рассматриваются как переменные. К этим формам применимы правила специального исчисления, заслуживающие того, чтобы на них остановиться.

Будем исходить из билинейной формы

от двух рядов переменных:

Такая форма называется симметрической, если она не меняется при перестановке двух рядов переменных:

и кососимметрической, если при этих условиях она меняет только знак:

Условия, которым должны удовлетворять коэфициенты формы, для того, чтобы она была симметрической, имеют вид

условия косой симметрии формы суть

Если подвергнуть оба ряда переменных одной и той же линейной подстановке, то форма перейдет в новую билинейную форму от новых переменных причем очевидно, что будет симметрической или кососимметрической вместе с формой это обусловлено тем, что перестановка двух рядов переменных а V сводится к перестановке двух рядов первоначальных переменных .

Каждой билинейной симметрической форме можно поставить в соответствие квадратичную форму, именно причем это соответствие взаимно. Если положить

то будем иметь:

Аналогичное соответствие не может быть установлено для кососимметрических форм, так как в этом случае тождественно равно нулю. Но мы сейчас устраним это неудобство.

56. Заметим, прежде всего, что в билинейной кососимметрической форме коэфициенты при равны все нулю, а коэфициенты при и отличаются только знаком. Поэтому можно писать

причем сумма в правой части равенства распространена на все сочетания из индексов по два, так что в правой части получается всего членов. Выражение является определителем

условимся обозначать его сокращенно так:

выписывая один за другим элементы первой строки и заключая их в прямые скобки. В этой системе записи получим:

Условимся также понимать под символом билинейную кососимметрическую форму, определенную детерминантом

где обозначают две произвольные линейные формы

Вычислив предыдущий определитель, получим немедленно:

Сравнение первого и последнего выражений показывает, что разложение определителя можно получить, рассматривая его как произведение и преобразуя это произведение по обычным правилам алгебры, остерегаясь, однако, менять порядок множителей в каждом из членов; при этом каждый член, содержащий два переменных с одинаковыми индексами, следует считать равным нулю, а каждый член, содержащий различные переменные, меняет знак при перестановке индексов.

Умножением, правила которого были только что изложены, мы обязаны Грассману, который назвал его внешним умножением.

Используя эту операцию, мы видим, что любой кососиимметрической билинейной форме можно поставить в соответствие форму второй степени от одного единственного ряда переменных, но такую, которая является результатом внешнего произведения линейных форм; и обратно, любому внешнему. произведению двух линейных форм соответствует билинейная кососимметрическая форма.

Вместо того чтобы говорить "форма, полученная в результате внешнего произведения двух линейных форм", мы будем для краткости говорить "внешняя форма".

57. Если во внешней форме осуществить линейную подстановку, то новая форма получится просто путем раскрытия каждого члена как функции новых переменных.

Частная производная внешней квадратичной формы определится просто как сумма частных производных ее членов; члены, не содержащие будут, естественно, иметь частную производную, равную нулю; что касается членов, содержащих то всегда можно предполагать, что их стоит в них на первом месте; частная производная от будет тогда равна Так, например, будем иметь:

Если принять эти правила, то будем иметь:

где выражения в прямых скобках представляют собой внешние произведения.

Если соответствует кососимметрической форме то имеем, очевидно,

где каждое произведение внутри круглой скобки представляет собою обыкновенное произведение.

Заметим, наконец, что если подвергнуть переменные линейной, подстановке

и если переходит при этой подстановке в то будем иметь

как и в случае обыкновенных алгебраических форм.

58. Система линейных уравнений

где данная внешняя квадратичная форма, не зависит, очевидно, от выбора переменных. Поэтому можно предположить, что она сводится к уравнениям:

Если это имеет место, то форма не зависит от Действительно, если бы она содержала член вида то уравнение

не было бы следствием уравнений (3). Форма может быть, следовательно, выражена с помощью левых частей уравнения (3).

Обратно, предположим, что форма может быть выражена с помощью переменных левые части уравнений системы

зависели бы в этом случае только от эта система содержала бы, таким образом, не более независимых уравнений. Следовательно, в должно быть равна должны быть линейными комбинациями

Следовательно, ассоциированная система внешней квадратичной формы получается путем приравнивания нулю всех ее частных производных первого порядка.

59. Этот результат может быть уточнен; мы покажем, что ранг -всегда четное число; кроме того, для внешних квадратичных форм мы найдем приведенный вид, играющий ту же роль, что сумма квадратов в случае обыкновенных квадратичных форм.

Положим, для определенности, что коэфициент формы отличен от нуля и рассмотрим форму

эта форма имеет те же коэфициенты, что и членов, содержащих

т. е. у членов, содержащих по крайней мере одну из двух переменных их, Следовательно, форма

содержит только переменные Предположим теперь, что коэфициент а и этой формы отличен от нуля; повторяя предыдущее рассуждение, убедимся, что форма

содержит только переменные Повторяя шаг за шагом этот процесс, придем в конце концов к форме, тождественно равной нулю. Допустим, например, что имеем

Шесть линейных форм

очевидно, независимы. Полагая

убедимся, что форма приводится к искомой канонической форме

Рассуждение носит, очевидно, вполне общий характер и приводит всегда к канонической форме

Ассоциированная система имеет, очевидно, вид

Этот результат весьма важен для дальнейшею 60. Приведение внешней квадратичной формы к каноническому виду возможно, очевидно, бесконечным числом способов; совокупность линейных подстановок, с помощью которых осуществляется переход от одной канонической формы к другой, образует важную группу зависящую от произвольных параметров. Если то эти подстановки двух переменных будут характеризоваться равенством нулю их определителя.