Ранг алгебраической формы и ассоциированная с ней система.

53. Предыдущие рассуждения выиграют в ясности, если теорему, аналогичную той, которая привела нас к понятию характеристической системы, мы докажем применительно к алгебраическим формам.

Если алгебраическая форма с переменными может быть выражена с помощью независимых линейных комбинаций переменных но не может быть выражена с помощью меньшего их числа; и если, кроме того, найдено иное выражение для формы с помощью иных линейных комбинаций переменных то являются независимыми линейными комбинациями

В самом деле, рассмотрим линейных форм

от данных переменных. Предположим, что среди этих форм имеется независимых это значит, что существует независимых линейных комбинаций величин у, которые одновременно являются линейными комбинациями обозначим их Предположим еще — это всегда возможно, — что являются независимыми линейными комбинациями как переменных так и переменных Тогда получим двойное равенство вида:

Величины независимы, а это возможно лишь в случае, если, например, не зависит от Но это совместно с нашими предпосылками лишь в том случае, если Теорема, таким образом, доказана.

Система линейных уравнений

называется ассоциированной системой по отношению к данной форме. Понятие ассоциированной системы распространяется, очевидно, и на совокупность форм, и на систему алгебраических уравнений. Назовем целое число рангом формы.

В силу изложенного, характеристическая система диференциальной формы с необходимостью включает в себя ассоциированную систему этой формы, рассматриваемой как алгебраическая форма относительно Но, помимо уравнений ассоциированной системы, она может содержать и иные уравнения.