Условия, при которых данная система диференциальных уравнений допускает данное бесконечно малое преобразование.

100. Мы не указали еще аналитических условий того, что данная система диференциальных уравнений -

допускает данное бесконечно малое преобразование

Положим

Дело сводится, в сущности, к тому, чтобы показать, что если первый интеграл, т. е. удовлетворяет уравнению

то и будет первым интегралом. Иными словами, нужно выразить, что уравнение

является следствием уравнения

Первое из написанных уравнений, содержащее частные производные второго порядка от функции можно заменить уравнением

которое, как показывает простое вычисление, является линейным и однородным относительно

Искомым условием является, таким образом, существование тождества вида

где соответственно подобранный коэфициент.

Это условие, очевидно, выполняется в случае бесконечно малого преобразования, символом которого является преобразования, смещающего каждую точку пространства вдоль соответствующей интегральной кривой, следовательно, оставляющего инвариантной каждую интегральную кривую. Если на интегральные кривые смотреть как на неделимые сущности, то это специальное бесконечно малое преобразование будет играть роль тождественного преобразования. Легко убедиться, что приложения бесконечно малых преобразований, о которых шла речь в этой главе, не могут иметь места в этом частном случае. То же замечание относится и к бесконечно малому преобразованию где А — произвольно заданный множитель.