Характеристическая система системы Пфаффа.

50. Если дана пфаффова система с переменными

то можно поставить следующую задачу: найти все системы диференциальных уравнений

для которых система (8) инвариантна. Эту задачу мы в дальнейшем решим; но и независимо от ее решения можно доказать важную теорему, касающуюся таких систем (тождественную, впрочем, с той, которая была доказана в предыдущей главе в связи с изучением одной данной диференциальной формы).

Предположим, что данные уравнения (8) могут быть записаны с помощью величин являющихся функциями от и их диференциалов в виде

предположим, кроме того, что они не могут быть записаны с помощью меньшего чем числа переменных и их диференциалов. Число будем называть классом системы. Для того чтобы система Пфаффа (8) была инвариантна по отношению к уравнениям (9), необходимо и достаточно, чтобы были первыми интегралами системы (9).

Доказательство точно то же, что и в предыдущей главе, и следствия, из него вытекающие, подобны следствиям, изложенным выше. В частности, условия, выражающие, что данная система Пфаффа инвариантна по отношению к системе диференциальных уравнений (9), представляются в виде уравнений, линейных относительно или, что в сущности сводится к тому же, в виде уравнений, линейных относительно и образующих пфаффову систему, эквивалентную системе

т. е. вполне интегрируемую.

Эта пфаффова система называется характеристической системой данной пфаффовой системы (8); впрочем, уравнения характеристической системы могут быть получены путем прибавления к уравнениям (8) данной системы других уравнений. 1

Необходимым и достаточным условием полной интегрируемости пфаффовой системы (8) является, очевидно, ее эквивалентность с

собственной характеристической системой; таким образом, уменье составить характеристическую систему любой пфаффовой системы дает возможность записать условия ее полной интегрируемости.

51. Ясно, что пфаффова система (8) может рассматриваться как инвариантная по отношению к собственной характеристической системе. Любое интегральное многообразие системы (8) либо состоит из характеристических многообразий, либо составляет часть интегрального многообразия более высокого числа измерений, в свою очередь состоящего из характеристических многообразий.

Если рассматривается какая-нибудь диференциальная форма и если эта форма инвариантна по отношению к некоторой системе диференциальных уравнений, то и характеристическая пфаффова система формы будет инвариантна для этой же системы диференциальных уравнений.

Так, например, в гидродинамике пфаффова система

инвариантна по отношению к диференциальным уравнениям траекторий жидких частиц (так же, как и по отношению к диференциальным уравнениям вихревых линий).

Все эти теоремы, а также ряд других, которые нетрудно себе представить, являются непосредственными следствиями характерного свойства инвариантной системы: в нее входят первые интегралы тех диференциальных уравнений, для которых она инвариантна.

52. Рассмотрим либо диференциальную форму, либо систему Пфаффа, либо, наконец, совокупность нескольких диференциальных форм и пфаффовой системы; обозначим через первые интегралы пфаффовой системы, характеристической либо по отношению к данной диференциальной форме, либо по отношению к данной пфаффовой системе и т. д. Ясно, что если обратить внимание исключительно на то, как диференциалы входят в диференциальную форму, пфаффову систему и т. д., не обращая внимания на коэфициенты, то окажется, что эти диференциалы входят только в виде комбинаций Может, однако, случиться, что они входят в виде линейных комбинаций, число которых меньше Во всех случаях, если известно наименьшее число линейных комбинаций с помощью которых может быть выражена форма (или система Пфаффа и т. д.), то уравнения, которые получатся путем приравнивания нулю этих линейных комбинаций, войдут в состав характеристической системы.