Глава XIV. ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ИНВАРИАНТНОЕ УРАВНЕНИЕ ПФАФФА.

Общий метод интегрирования.

137. Мы уже встречались с характеристической системой уравнения Пфаффа

она состоит из уравнений

из которых последние образуют систему, ассоциированную с внешней квадратичной формой , если предположить, что переменные в них связаны соотношением

И эта характеристическая система встречалась уже в предыдущей главе в связи с пфаффовым выражением второго типа.

Число независимых уравнений характеристической системы (2) всегда нечетно; действительно, учитывая соотношение всегда можно представить в виде

где символами обозначены линейные диференциальные формы, независимые между собой и независимые от . Тогда характеристическая система уравнения (1) будет определяться уравнениями

Как видим, представляет собой наименьшее целое число, такое, что форма неравна нулю. Класс уравнения равен степени этой формы.

138. Нетрудно найти каноническую форму уравнения (1). Действительно, пусть будет каким-нибудь первым интегралом характеристической системы (2); если приравнять произвольной постоянной нулю, то ранг характеристической системы нового уравнения (1) уменьшится по крайней мере на единицу, и так как он должен быть нечетным, то он уменьшится по крайней мере на две единицы. Пусть первый интеграл новой характеристической системы. Полагая

понизим ранг характеристической системы данного уравнения по крайней мере на 4 единицы и т. д. В конце концов, после не более операций, уравнение будет удовлетворяться тождественно; иными словами, это уравнение должно иметь вид

Число впрочем, должно равняться потому что в противном случае уравнение (1) могло бы быть записано с помощью числа переменных меньшего, чем

Значит, если характеристическая система уравнения (1) имеет ранг это уравнение может быть приведено к виду

а функции

образуют систему независимых первых интегралов характеристических уравнений.

Мы видим, что этот метод приведения уравнения (1) к каноническому виду и, следовательно, интегрирования его характеристик

ческой системы, требует применения последовательных операций порядков

и диференцирований:

139. Можно заметить, в главе что знание первых интегралов

таких, что уравнение (1) тождественно удовлетворяется, если их приравнять произвольным постоянным, позволяет закончить интегрирование характеристических уравнений с помощью только диференцирований. В самом деле, уравнение может быть представлено, и притом единственным образом, в виде

причем можно доказать, что коэфициенты будут, в свою рчередь, первыми интегралами характеристических уравнений.

Став на более общую точру зрения, можно поставить вопрос так: к чему приводится интегрирование характеристической системы, когда известно некоторое число независимых первых интегралов этой системы?

140. Первые интегралы в инволюции. Мы скажем, что два первых интеграла характеристической системы уравнения (1) находятся в инволюции, если

это определение, очевидно, независимо от выбора переменных, а также от произвольного множителя, на который может быть умножена левая часть уравнения (1).

Из того, что два первых интеграла находятся в инволюции, вытекает важное следствие: ранг характеристической системы уменьшается на четыре единицы, если предположить, что переменные связаны соотношениями

где две произвольные постоянные. Действительно, условие (3) показывает, что если предположить и то ранг будет меньше и, следовательно, равен