Уравнения движения, отнесенные к подвижной системе референции.

178. Нетрудно дать истолкование этой системы. Ограничимся, для определенности, проблемой трех тел небесной механики Вычислим сначала выражения Для этого применим к обеим частям равенства (3) оператор написав только члены, содержащие получим:

Таким образом мы находим, что при а 5 все равны нулю, за исключением равного 1.

Заметим, кроме того, что выражения все равны нулю, потому что функция инвариантна по отношению к каждому из рассматриваемых бесконечно малых преобразований. Мы видим, что система (6), характеристическая по отношению к форме может быть определена как система всех линейных комбинаций уравнений движения, обладающих свойством обращаться в тождества при замене в них символа неопределенного диференцирования символом любого из бесконечно малых преобразований

179. Этот результат позволит нам дать геометрическую интерпретацию системы (6).

С этой целью представим себе различные возможные системы референции, каждая из которых определяется тремя взаимно перпендикулярными координатными осями, началом отсчета времени и единицами длины, массы и времени. Выберем раз навсегда единицу массы, а выбор остальных единиц измерения подчиним условию, чтобы универсальная константа тяготения имела определенное числовое значение. Единица длины остается еще произвольной. Наконец, фиксируем начало координат, в качестве которого будем всегда брать центр тяжести системы трех тел, и начало отсчета времени.

Допустимые системы референции зависят от четырех произвольных параметров: три из них определяют направление осей, а четвертый — выбор единиц.

Каждому состоянию трех тел (определяемому их положениями, скоростями и временем и зависящему от 13 переменных) можно поставить в соответствие, по некоторому данному заранее закону, подвижную систему референции таким образом, чтобы уменьшить на четыре единицы число величин, определяющих состояние трех тел по отношению к этой системе референции. Можно, например, взять: в качестве оси —прямую, соединяющую центр тяжести системы с телом в качестве плоскости плоскость трех тел; в качестве единицы длины — расстояние Состояние трех тел будет тогда определяться двумя координатами шестью проекциями на 3 координатные оси скоротей наконец, временем Можно было бы и иначе выбрать подвижную систему референции, соответствующую данному состоянию, например, сохранить перпендикулярной к плоскости трех тел, но в качестве взять параллель к а в качестве единицы длины Можно было бы также выбрать систему координат по одному из двух указанных способов, но единицу длины выбрать так, чтобы кинетический момент системы равнялся единице. Можно было бы, наконец, провести перпендикулярно к плоскости трех тел, в качестве плоскости взять плоскость а единицу длины выбрать так, чтобы равнялось 1. В этом последнем случае девятью величинами, определяющими состояние трех тел по отношению к подвижной системе референции, будут две координаты две координаты время и,

наконец, шесть компонент скорости что составит величин, но связанных двумя соотношениями: .

Предположим теперь, что мы выбрали какой-либо из указанных, или иной закон, устанавливающий соответствие между состоянием трех тел и подвижной системой референции. Пусть будут

девять величин, определяющих состояние трех тел по отношению к соответствующей подвижной системе референции. Состояние трех тел будет определено по отношению к фиксированной системе референции, если кроме будут известны 4 параметра определяющих положение подвижной системы референции относительно неподвижной. Этими четырьмя параметрами могут быть, например, три параметра, определяющие девять направляющих косинусов, и отношение единицы длины подвижной системы к фиксированной единице длины. В конце концов мы видим, что величины (число их равно 19, но среди них только 13 независимых)

определяющие состояние трех тел по отношению к фиксированной системе референции, являются определенными функциями 13 величин

Эти последние, в свою очередь, являются определенными функциями первых. Очевидно, 9 величин рассматриваемых как функции от будут инвариантны отношению к каждому из бесконечно малых преобразований потому что эти преобразования сводятся к тому, что меняется фиксированная система референции, т. е. величины определяющие связь между подвижной и фиксированной системами референций, но не меняются величины определяющие состояние трех тел по отношению к подвижной системе.

Можно еще сказать, что если, искать все диференциальные формы, линейные относительно обладающие свойством обращаться в нуль при замене символа любым из символов то мы получим все линейные комбинации и только их.

В частности, левые части уравнений (6) характеристической системы формы линейны относительно Таких уравнений имеется 8, значит, они могут быть приведены к виду

и так как они вполне интегрируемы, то будут зависеть только от Иными словами, система (6) будет системой обыкновенных диференциальных уравнений относительно значит, она определяет движение трех тел по отношению к подвижной системе референции.

180. Теперь нетрудно фактически написать уравнения системы (6). Будем исходить из относительного интегрального инварианта где мы положили

и представим себе, что все величины выражены через Прежде всего мы знаем, что диференциалы не войдут в окончательное выражение для , так как последнее должно быть линейной комбинацией форм Значит, при вычислении можно смотреть на как на фиксированные параметры. Далее, коэфициенты формы , выраженной через не должны содержать переменных так как в противном случае внешняя производная от не обращалась бы в нуль; значит, при вычислениях не только можно считать постоянными параметрами, но можно дать им произвольные числовые значения; в частности, им можно дать и такие числовые значения, которые соответствуют совпадению фиксированной и подвижной систем референции. Иными словами, чтобы построить , можно в выражении дать величинам значения определяющие состояние трех тел по отношению к подвижной системе референции; эти тринадцать величин сводятся, как мы видели, к девяти.

181. Рассмотрим, в частности, случай, когда подвижная единица длины выбрана так, чтобы у равнялось единице (тогда подвижная единица длины будет фиксирована). В этом случае имеем

прибавляя полный диференциал, получим относительный интегральный инвариант искомой системы диференциальных уравнений.

Если предположить, что ось направлена перпендикулярно к плоскости трех тел, ось например, параллельно , то положение треугольника определяется тремя величинами Полагая еще

получим

Искомые уравнения относительного движения будут тогда

это — канонические уравнения, допускающие первый интеграл

В качестве можно взять, например, длины трех сторон треугольника

В случае плоского движения остается только шесть неизвестных функций

Если известно движение трех тел относительно подвижной системы референции, то абсолютное движение определится с помощью квадратуры. Прежде всего, зная проекции на подвижные оси кинетического момента и задавая постоянную С, измеряющую в фиксированной системе референции, найдем отношение единиц длины фиксированной и подвижной систем. Тогда можно взять направление в качестве оси (фиксированной), а положение лвух других осей будет зависеть от неизвестного угла. Этот угол можно найти с помощью квадратуры. Для этого достаточно заметить, что инвариантная форма (выраженная с помощью фиксированных координат) будет полным диференциалом, если учесть соотношения, определяющие относительное движение, которые предполагаются известными. Действительно, формула

показывает, что при этих условиях равна нулю равны нулю). Значит, интегрирование заканчивается квадратурой

Следует заметить, что можно выполнить эту квадратуру сразу после. геометрического определения относительного движения, т. е. до того, как в этом относительном движении определено (квадратурой) время. Иными словами, две квадратуры, дающие времй (в относительном движении) и положение фиксированных осей по отношению к подвижным, могут быть выполнены независимо одна от другой.