Глава XVII. ПРИМЕНЕНИЕ ИЗЛОЖЕННЫХ ТЕОРИЙ К ПРОБЛЕМЕ n ТЕЛ.

Уменьшение числа степеней свободы.

173. Мы уже видели (п. 124), как метод интегрирования, изложенный в главе XII, прилагается к каноническим уравнениям динамики:

Там мы предполагали, что функция произвольна. Если эта функция не зависит от времени, то она является первым интегралом и задача сводится к интегрированию системы

первые интегралы которой являются решениями уравнения

и к квадратуре.

174. Изучим несколько подробнее упрощения, которые можно сделать при интегрировании уравнений проблемы тел, учитывая бесконечно малые преобразования (о которых говорилось в п. 94), допускаемые уравнениями движения. Предположим — это не уменьшит общности, — что система тел отнесена к своему центру тяжести, т. е. что координат компонент скорости связаны соотношениями:

Пусть силовая функция, однородная по отношению к координатам, с показателем однородности — Уравнения движения допускают пять бесконечно малых преобразований:

С другой стороны, имеем

где положено

175. Пять линейных инвариантных форм

имеют в нашем случае вид:

здесь введены обозначения:

Наконец, имеем

Таблицу выражений мы уже приводили более общего случая. Поместим ее еще раз, применительно к нашему случаю (см. табл. 2).

Таблица 2.

176. Итак, нам известны пять линейных инвариантных форм и таблица коэфициентов определенных с помощью обобщенных скобок Пуассона:

Применим теорию главы Построим вспомогательную форму

она имеет выражение:

(см. скан)

выполнив вычисления, получим

где положено

177. Если приравнять четыре первых интеграла произвольным постоянным, то ранг формы уменьшится на , следовательно, с он понизится до т. е. до числа, соответствующего проблеме с степенями свободы в случае проблемы трех тел). Но соответствующая характеристическая система будет содержать произвольные параметры.

Существует процесс (осуществимый лишь в теории), позволяющий уменьшить число степеней свободы, избегая вовсе введения произвольных параметров. Приравнивая нулю внешнюю производную правой части равенства (3) и учитывая соотношение

получим

Это соотношение показывает, что внешняя производная квадратичной формы

равна нулю. Впрочем, это можно усмотреть из последней части этого равенства; в самом деле, первый ее член, как точная внешняя производная, дает при внешнем диференцировании нуль. Мы сейчас увидии, что то же имеет место и для второго члена.

Чтобы дать истолкование этого второго члена, рассмотрим вектор длины изображающий кинетический момент

стемы относительно начала, проекции которого равны Если представить себе элемент поверхности описываемый точкой и если через обозначить направляющие косинусы нормали к этому элементу, то получится

и, следовательно,

где через обозначен угол между вектором и нормалью, обозначает телесный угол, под которым виден из начала координат элемент поверхности Обозначая через в угол между вектором и осью через долготу, т. е. угол между плоскостями получим

значит, эту форму можно рассматривать как внешнюю производную линейной формы

Положим теперь

мы видим, что характеристические уравнения относительного интегрального инварианта имеют вид