Характеристическая система диференциальной формы.

41. Доказанная исключительно общая теорема имеет важные следствия, которые помогут лучше понять ее значение.

Наиболее общей системой диференциальных уравнений, для которой форма является инвариантной формой, будет (в переменных на основании предыдущего, следующая:

где произвольные функции.

Отсюда немедленно следует, что всякий первый интеграл, общий всем этим системам, является функцией от Если, следовательно, форма может быть выражена иным способом через величин и их диференциалы, будут функциями и обратно, потому что будут первыми интегралами, общими всем системам, имеющим своей инвариантной формой. Иначе говоря, возможно лишь существенно одним способом выразить форму с помощью наименьшего числа переменных и их диференциалов, в том смысле, что если имеется одно выражение, содержащее минимальное число переменных то все остальные получатся из него путем произвольной замены переменных. Это заключение не будет, естественно, справедливым, если не будет наименьшим числом переменных.

42. Отметим еще одно следствие. Условимся говорить, что некоторое число систем диференциальных уравнений с переменными, например, три:

линейно независимы, если невозможно найти такие коэфициенты не все равные нулю, чтобы имели место тождества:

В противном случае мы скажем, что системы линейно зависимы.

Свойство линейной зависимости или независимости нескольких систем диференциальных уравнений, очевидно, сохраняется при любой замене переменных.

Среди систем (3), для которых служит инвариантной формой, можно, очевидно, найти линейно независимых систем, именно те, которые получаются, если все знаменатели кроме одного, полагать равными нулю. При этом все системы (3) линейно зависят от этих частных систем.

Мы видим, таким образом, если является инвариантной формой для и только для линейно независимых систем диференциальных уравнений, то она инвариантна и для любой системы, линейно от них зависящей; кроме того, все эти системы имеют общих независимых первых интегралов.

43. Положим, например, Существуют две системы диференциальных уравнений, пусть это будут

имеющих в качестве инвариантной формы форму и всякая иная система, допускающая эту же форму, линейно зависит от этих двух систем. Обозначим через траектории первой системы, через траектории второй. Проведем через некоторую точку -мерного пространства траектории и возьмем на какую-нибудь точку на точку наконец, построим траектории: проходящую через проходящую через Эти новые траектории пересекаются. Действительно, если суть общие первые интегралы обеих рассмотренных систем, числовые значения этих интегралов в точке то их числовые значения в точках будут те же самые, следовательно, кривые все будут расположены на одном двумерном многообразии

а это и показывает, что и пересекаются.

44. С предыдущим случаем мы как раз встречаемся при изучении двойного интегрального инварианта теории вихрей, соответствующего диференциальной форме

Мы видели что системами диференциальных уравнений, имеющими форму инвариантной формой, будут такие, следствием которых является система

Наиболее общей системой такого рода будет следующая:

являющаяся линейным следствием систем

определяющих траектории частиц жидкости и линии вихрей. Первые представляют собою кривые вторые — кривые предыдущего случая; общие свойства, сформулированные выше, выразятся теперь так: частицы, образующие в момент вихревую линию образуют в момент V вихревую линию Теорема Гельмгольца является, таким образом, весьма частным случаем общей теоремы, доказанной в начале этой главы.

45. В двух предыдущих параграфах мы предполагали, что Аналогичные геометрические рассуждения можно провести для любых чисел они основываются на существовании таких многообразий, определенных уравнениями вида

что всякая траектория системы (3), имеющая с одним из этих многообразий общую точку, лежит на нем целиком. Любое из этих -мерных многообразий может быть получено следующим путем. Отправляемся от произвольной точки проводим через эту точку траекторию одной из систем, имеющей инвариантной формой, затем через любую точку этой траектории проводим траекторию какой-либо другой из этих систем и т. д. Эти операции позволяют построить все -мерное многообразие и никогда не выведут из него.

Эти многообразия мы будем называть характеристическими многообразиями формы

Характеристические многообразия могут рассматриваться как результат интегрирования уравнений

эти уравнения, если вернуться к первоначальным переменным представляют собой совокупность соотношений, линейных относительно и являющихся следствием уравнений любой системы, допускающей в качестве инвариантной формы.

Можно сказать проще. Необходимое и достаточное условие того, что элементарное смещение осуществляется в направлении траектории некоторой системы диференциальных уравнений, допускающих в качестве инвариантной формы, выражается аналитически посредством некоторого числа уравнений, линейных относительно Эти уравнения, если предположить, что среди них имеется ровно независимых, определяют многообразия измерений, зависящие от произвольных постоянных, такие, что через каждую точку пространства проходит одно и только одно из этих многообразий: это и будут характеристические многообразия. Систему линейных уравнений в полных диференциалах, о которой идет речь, называют характеристической системой формы

46. Назовем, для краткости, уравнением Пфаффа уравнение, линейное относительно а пфаффовой системой — систему уравнений Пфаффа. Систему пфаффовых уравнений с переменными можно всегда рассматривать как такую систему, которая определяет

переменных, рассматриваемых как зависимые переменные, в функциях от остальных, рассматриваемых как переменные независимые. Вообще говоря, такая система несовместна. Классическим примером является пфаффово уравнение с тремя переменными

в котором рассматривается как функция х и у, и которое допускает решение, соответствующее произвольно выбранным начальным данным, только тогда, когда выполняется известное условие интегрируемости, именно

В этом случае говорят, что уравнение вполне интегрируемо.

Точно также говорят, что пфаффова система из уравнений с неизвестными функциями, зависящими от независимых переменных, вполне интегрируема, если она всегда допускает решение, соответствующее произвольно выбранным начальным значениям переменных. Это свойство имеет для характеристической пфаффовой системы диференциальной формы

Основную теорему этой главы можно, значит, сформулировать так:

Пфаффова характеристическая система некоторой диференциальной формы всегда вполне интегрируема.

47. Возвратимся в последний раз к форме теории вихрей. Характеристическая пфаффова система этой формы определяется уравнениями (5) или, что то же, уравнениями

если мы сумеем выразить, что та система вполне интегрируема, то необходимо получим аналитическую интерпретацию теоремы Гельмгольца. Что касается характеристических многообразий, то каждое из них представляет собою совокупность состояний частиц, образующих одну и туже вихревую линию.

Для двойного интегрального инварианта динамики характеристическая пфаффова система сводится куравнениям движения, а характеристические многообразия — к траекториям.

Могло бы быть и иначе, если бы, как это было в теории вихрей, мы ограничились рассмотрением лишь части траекторий, например, лишь тех траекторий, которые удовлетворяют некоторой системе соотношений между переменными.